第19讲定积分及简单应用培训资料.ppt

新课标高中一轮总复习第三单元
导数及其应用1.下列积分的值为1的是()2.曲线y=cosx(0≤x≤)与坐标轴所围成图形的面积是()3.|x|dx等于()4.一物体在力F(x)=4x-1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处(单位:m),则力F所做的功为()5.做匀变速直线运动的物体，初速度为30m/s,ts后的速度v=30-1.5t-4，则该物体停止运动时，运动的路程是m.1.定积分的概念
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间［xi-1,xi］上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=①.当n→∞时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作：f(x)dx,即f(x)dx=②.a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b］叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做积式.
(1)定积分f(x)dx是一个常数；(2)定积分的几何意义：
(ⅰ)当函数f(x)在区间［a,b］上恒为正时,定积分f(x)dx的几何意义是由曲线③和直线④所围成的曲边梯形的面积(如图中阴影部分).(ⅱ)一般情况下定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴，函数y=f(x)的图象以及直线⑤,⑥之间的曲边梯形面积的代数和(如图)，其中在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号.(3)定积分的性质.
kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数)；
［f(x)±g(x)］dx=f(x)dx±g(x)dx;
f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b).
2.微积分基本定理
如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数，并且⑦,则f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数.3.求定积分的方法
(1)定义法：
(ⅰ)分割：n等分区间［a,b］；
(ⅱ)近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，用f(ξi)近似地代替f(x)在［xi-1,xi］上的函数值;
(ⅲ)求和f(ξi);
(ⅳ)取极限:f(x)dx=f(ξi).(2)利用微积分基本定理求定积分f(x)dx.
(ⅰ)求f(x)的一个原函数F(x);
(ⅱ)计算F(b)-F(a).
(3)利用定积分的几何意义求定积分.
4.定积分的简单应用
(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积.(2)定积分在物理中的应用：
求变速直线运动的路程:s=⑧(v(t)为速度函数).
求变力所做的功:W=⑨.题型一定积分的概念及几何意义（1）因为dx表示曲线y=与直线x=－１，x=1及x轴所围成的面积（如图），
所以dx=.(2)(4-x-|x-2|)dx=(4-x)dx-|x-2|dx表示△OBD的面积与△OAE及△ABC和的差(如图),

故(4-x-|x-2|)dx=×4×4-2××2×2=4.(2010·广东潮州调研)已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8，则f(x)dx等于()计算下列定积分:
(1)(2sinx-3ex+2)dx;
(2)(sinx-sin2x)dx；
(3)dx.(1)(2sinx-3ex+2)dx
=2sinxdx-3exdx+2dx
=2(-cosx)-3ex+2x
=-2(cosπ-cos0)-3(eπ-e0)+2(π-0)=7-3eπ+2π.
(2)函数y=sinx-sin2x的一个原函数为
y=-cosx+cos2x,
所以(sinx-sin2x)dx=(-cosx+cos2x)
=(--)-(-1+)=-.(3)原式=dx
=|sinx-cosx|dx
=|sinx-cosx|dx+|sinx-cosx|dx
=|cosx-sinx|dx+|sinx-cosx|dx
=sinx+cosx)-(cosx+sinx)
=2(-1).利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积分函数的原函数.求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,因此应熟练掌握一些常见函数的导数.此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质f(x)dx
=f(x)dx+f(x)dx，根据函数的定义域,将积分区间分解为若干部分,代入相应的解析式,分别求出积分值，相加即可.题型三定积分的简单应用例4(2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3)，
所以在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0,
所以在t=4s时的路程为
s=(t2-4t+3)dt+|(t2-4t+3)dt|+(t2-4t+3)dt
=(t2-4t+3)dt-(t2-4t+3)dt+(t2-4t+3)dt
=4(m).
即在t=4