复变函数-Taylor级数与罗朗级数知识课件.ppt

为了证明定理1，首先介绍下面两个引理
一、有关逐项积分的两个引理
引理1（函数项级数的逐项积分）设函数和
沿曲线可积，且在上处处有

如果存在收敛的正项级数使得在
上有

那么
证明：由于收敛，因此当时，必有

于是设曲线的长度为，当时，有

这就证明了该引理。证明：（1）令，由于，
因此由等比级数的求和公式得：

对任意满足的点成立。
由引理1，只须对最后所得的函数项级数找出满
足引理条件的正项级数A0+A1+…+An+…，然后
逐项积分就可得到所证结果。事实上，由函数f(ξ)的连续性，可设|f(ξ)|在圆周|ξ-z0|=r上的上界为正数M，则对于固定的点z，在该圆周上处处有

而是收敛的，故所证等式成立。
（2）当z在圆周外时，显然对圆周
上的点成立。这时有

同样由引理1可得所证等式。
定理1设函数f(z)在圆盘内解析，那么
在U内有

证明：设。以为中心在内作一圆，使得
z属于其内部，此时由柯西积分公式有

又因在C上解析，也一定连续，所以由引理2
的结论（1）得由于z是U内的任意一点，证毕。定理2函数在解析的充分必要条件是它在
的某个邻域有幂级数展开式。

系1幂级数就是它的和函数在收敛圆盘中的
Taylor展开式，即

系2(幂级数展开式的唯一性)在定理1中，幂级
数的和函数f(z)在收敛圆盘U内不可能有另一幂级
数展开式。三.初等函数的泰勒展开式为实常数

当时，上式只有有限项，并且是在整
个复平面上成立。
间接展开法：它是根据函数在一点的泰勒级
数展开式的唯一性给出的。在这里指从上面6个
初等函数的泰勒级数展开式出发，利用幂级数的
变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等求
出其出泰勒级数及其收敛半径。
如：应用，令，得

解因为是例2求下列函数在点处的泰勒级数展开式及
其收敛半径。
（1）（2）
（3）（4）

例2求下列函数在点处的泰勒级数展开式及
其收敛半径。
（1）（2）
（3）（4）
解（1）在处为唯一的奇点，并且当
时，函数，所以函数在处
的泰勒级数展开式的收敛半径为|z1-z0|=|0-i|=1，
从而在|z-i|<1时有
令应用展开式(6)可得：
（2）同理可得其在处的泰勒级数展开式
的收敛半径为1。
由于,应用展开式（3）得

所以当时（3）由于在整个复平面上解析，故其收敛
半径为，从而

应用展开式（2)(4)得

用直接法也简单，注意到
（4），其Taylor级数收敛半径为1，
从而在处的泰勒级数展开式两端同乘
以即可得到在处的泰勒级数
展开式：

注意：显然不必要将写成的多项式再
来求在处的泰勒级数展开式。
小结§4罗朗(Laurent)级数一.问题的引入负幂项部分收敛半径引例一、罗朗展开定理

由Cauchy积分公式，对环内任意的z有
i)罗朗级数中的正幂项系数不能记为：罗朗级数的性质
定理若函数在圆环D:内解析，
则该函数的罗朗级数展开式在D内处处绝对收敛、可以逐项微分和积分，其积分路径为内的任何简单闭路。

二、函数的Laurent展开式
例1求及在内的罗朗展开式。例212说明:例3分别将下列函数在指定点的去心邻域内展开成Laurent级数（2）四、用Laurent级数的展开式计算积分
根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得

因此，我们可以根据求出系数c-1的值来计算积分。

例6例7计算积分

复积分计算的方法有时用第三,四章中介绍的有关公式来计算积分也不简便,还需要用到以后介绍的留数和留数定理.复数项级数