复习指导第4章第7节正弦定理与余弦定理的应用含解析.doc

第7节正弦定理与余弦定理的应用

一、教材概念·结论·性质重现
1．实际测量中的有关名词、术语
名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角
α为坡角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比
坡比：i＝eq\f(h,l)仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角2．方位角
从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．

方位角的取值范围：0°～360°.

东北方向是北偏东45°或东偏北45°的方向．
3．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

解三角形应用问题的步骤

二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(√)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)
(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.(×)
(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)
2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()

A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
D解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
3．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()
A．10km B．10eq\r(3)km
C．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km
D解析：由余弦定理得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos120°＝102＋202－2×10×20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝700.所以AC＝10eq\r(7)(km)．
4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D.若测得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km.

eq\f(\r(6),4)解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝eq\f(\r(3),2)km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝eq\f(CD,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4)(km)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8).所以AB＝eq\f(\r(6),4)km.所以A，B两点间的距离为eq\f(\r(6),4)km.
5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为________．

40m解析：设电视塔的高度为xm，则BC＝x，BD＝eq\r(3)x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40m.

考点1解三角形的实际应用——应用性

考向1测量距离问题
如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山