2022届新教材一轮复习北师大版-3.6-正弦定理和余弦定理-学案.doc

第六节正弦定理和余弦定理
命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，该节是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变形等进行综合命题，既有选择题、填空题，也有解答题．本节通过正、余弦定理及其应用考查考生的数学运算、数学建模核心素养．
授课提示：对应学生用书
知识点一正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
（2）sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；
（3）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
（4）asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；
cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；
cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)•温馨提醒•
二级结论
三角形中的常用结论
（1）A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)．
（2）在三角形中，大边对大角，反之亦然．
（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
（4）在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A，B，C≠\f(π,2)))．
必明易错
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．

1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝（）
A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)
C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)
解析：∵cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq\f(1,2)，
又∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝eq\f(2π,3)．
答案：C
2．（易错题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，则A＝（）
A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)
C．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)
解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，
得sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(1,2)．
∵a<c，∴A<C，∴0<A<eq\f(π,3)，∴A＝eq\f(π,6)．
答案：A
3．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为_________．
解析：由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形
知识点二三角形的面积
三角形的面积
S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)（a＋b＋c）·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R，r．

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝（）
A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)
C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)
解析：由题可知S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC．因为C∈（0，π），所以C＝eq\f(π,4)．
答案：C
2．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r