2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案1.1.1正弦定理含答案.doc

第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
必备知识·自主学习
1.正弦定理
(1)定理的内容.
条件三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c文字语言在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等符号语言QUOTE=QUOTE=QUOTE(2)本质:正弦定理反映的是三角形边角之间的数量关系.该比值是此三角形外接圆的直径.
(3)作用:①求三角形的边和角;②实现三角形边角之间的互化;③求三角形外接圆的半径.
正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE只适用于锐角三角形吗?
提示:正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE适用于任意三角形.
2.三角形中的元素与解三角形
(1)三角形中的元素:指的是三角形的三个角及其对边.
(2)解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.
已知三角形的哪几个元素,可以用正弦定理解相应三角形?
提示:①已知三角形的任意两角和一边,求其他两边和另一角.②已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求另一边及另两角.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)在△ABC中,已知C=60°,a=1,b=3,可用正弦定理解此三角形. ()
(2)对于任意△ABC总有bsinA=asinB. ()
(3)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B;反之,若A>B,则sinA>sinB. ()
(4)在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2QUOTE,则B=60°. ()
提示:(1)×.已知三角形的两边和这两条边的夹角,无法用正弦定理解此三角形.
(2)√.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即bsinA=asinB.
(3)√.在△ABC中,sinA>sinB⇔a>b⇔A>B.
(4)×.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,则B=60°或
120°,又因为b>a,所以B>A,故B=60°或120°.
2.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,则b= ()
A.4QUOTEB.4QUOTEC.4QUOTE D.QUOTE
【解析】选C.在△ABC中,A=180°-(B+C)=45°,由正弦定理QUOTE=QUOTE得b=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=QUOTE,a=3,b=1,则sinB= ()
A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE
【解析】选A.由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.
关键能力·合作学习
类型一已知两角及一边解三角形(数学运算)
1.(2020·石家庄高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,则边c= ()
A.QUOTEB.QUOTEC.2 D.QUOTE
2.在△ABC中,若tanA=QUOTE,C=150°,BC=1,则AB等于.
3.在△ABC中,已知a=2QUOTE,A=30°,B=45°,解三角形.
【解析】1.选D.因为b=2,B=45°,C=120°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得c=QUOTE.
2.因为tanA=QUOTE,0°<A<180°,所以sinA=QUOTE.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,所以AB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.
答案:QUOTE
3.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE,
所以b=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.
因为C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,
所以c=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2+2QUOTE.
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【补偿训练】
已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.
【解析】设在△ABC中,A=45°,B=60°,则C=180°-(A+B)=75°.因为C>B>A,所以最小边为a.
又因为c=1,由正弦定理得,a=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1,所以最小边长为QUOTE-1.
类型二已知两边及一边的对角解三角形(数学运算)
【典例】在△ABC中,已知B=30°,b=QUOTE,c=2,解