新教材2020-2021学年人教A版数学选择性必修第三册配套学案7.4.2超几何分布含解析.docx

7.4.2超几何分布
[教材要点]
要点一超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k）＝____________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则称随机变量X服从超几何分布．
eq\a\vs4\al(状元随笔)判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个）内含有两种不同的事物A(有M个），B(有N－M个），任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布．满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成，如男生，女生；正品，次品；优，劣等．
要点二超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝eq\f(M,N)，则E(X）＝________．
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”）
(1）超几何分布的模型是有放回的抽样．(）
(2）二项分布与超几何分布是同一种分布．(）
(3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．超几何分布的总体里只有两类物品．(）
2.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X
C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
3.一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(）
4.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．
题型一超几何分布——师生共研
例1在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．
方法归纳
(1）当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布；
(2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据公式求出X取不同值时的概率．
跟踪训练1从一批含13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求至少有一件次品的概率．
题型二超几何分布的分布列与期望——师生共研
例2盒中装有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的(用过的就是旧的）.从盒中任取3个使用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数Y是一个随机变量，求Y的分布列．
eq\a\vs4\al(状元随笔)若随机变量Y的分布列不易求，则可以根据题意找出与随机变量Y有关的随机变量X，确定二者的对应值及取对应值的概率的关系，将求随机变量Y的分布列转化为求随机变量X的分布列．
方法归纳
若X是随机变量，则Y＝f(X）也是随机变量，求Y的分布列，可由X的分布列得出：先由Y＝f(X）求出随机变量Y的值，再根据随机变量X的取值所对应的概率写出分布列．
跟踪训练2在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
题型三超几何分布与二项分布的区别——师生共研
例3在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1）不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值；
(2）放回抽样时，抽取次品数η的均值．
方法归纳
二项分布和超几何分布最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样，所以在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读，辨别题目条件是非常重要的．
跟踪训练3(1）现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是eq\f(5,7)，则语文课本的本数为(）
A．2B．3
C．4D．5
(2）甲、乙两人玩秒表游戏，先按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数．若出现0，1，2，3，则