2020-2021学年人教A版数学选修2-3学案1.2.2第一课时-组合与组合数公式含解析.doc

1．2.2组合
第一课时组合与组合数公式
内容标准学科素养1.理解组合及组合数的概念．
2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题.利用数据分析
发展数学建模
提升数学运算授课提示：对应学生用书
[基础认识]
知识点一组合的概念
eq\a\vs4\al(预习教材P21－22，思考并完成以下问题)
(1)什么叫排列？排列数公式是什么？
提示：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．那么从n个不同元素中取出m个元素并成一组，如何计算呢？
(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法．
(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
提示：(2)一种选法就是两人的一个排列，共有Aeq\o\al(2,3)个排列．因此共有Aeq\o\al(2,3)种选法．
(3)一种选法就是两人的一组，共有甲乙、甲丙、乙丙3种选法．
知识梳理组合的概念
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
思考：(1)排列与组合有什么区别？
(2)两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？
提示：(1)排列与组合都是从n个不同元素中取出m个不同元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是先选再排的结果．
(2)两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．
知识点二组合数的概念及公式
eq\a\vs4\al(预习教材P23－25，思考并完成以下问题)
前面已经提到，组合与排列有相互联系，我们能否利用这种联系，通过排列数Aeq\o\al(m,n)来求出组合数Ceq\o\al(m,n)呢？
提示：求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可看作由以下2个步骤得到的：第1步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有Ceq\o\al(m,n)种不同的取法；第2步，将取出的m个元素做全排列，共有Aeq\o\al(m,m)种不同的排法．
根据分步乘法计数原理，有Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)·Aeq\o\al(m,m).
知识梳理1.组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．
2．组合数公式
组合数
公式乘积
形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)阶乘
形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)性质Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)
Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)备注规定Ceq\o\al(0,n)＝1[自我检测]
1．若Ceq\o\al(2,n)＝28，则n的值为()
A．9 B．8
C．7 D．6
答案：B
2．计算：Ceq\o\al(3,5)＝________，Ceq\o\al(2,5)＝________，Ceq\o\al(2,6)＝________，Ceq\o\al(4,6)＝________.
答案：10101515
授课提示：对应学生用书
探究一组合概念的理解
[阅读教材P25练习1]甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，列出：
(1)所有各场比赛的双方；
(2)所有冠亚军的可能情况．
解析：(1)所有各场比赛的双方为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁．
(2)所有冠亚军的可能情况：甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、甲丁、丁甲、乙丙、丙乙、乙丁、丁乙、丙丁、丁丙．
[例1]判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
[解析](1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为Aeq\o\al(2,10)＝90.
(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为Ceq\o