新教材人教A版必修第二册-8.3-第2课时-球的表面积和体积-作业.doc

第八章8.3第2课时球的表面积和体积

A级——基础过关练
1．(2020年银川期末)长方体的长，宽，高分别为a,2a,2a它的顶点都在球面上，则这个球的体积是()
A．eq\f(27πa3,8) B．eq\f(27πa3,2)
C．eq\f(9πa3,2) D．eq\f(9πa3,8)
【答案】C【解析】设这个球的半径为R，根据条件可知，外接球直径2R＝eq\r(a2＋2a2＋2a2)＝3a，则R＝eq\f(3,2)a，所以该球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)πa3.故选C．
2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S的值是()
A．4π B．32
C．24 D．12π
【答案】B【解析】设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a2＝16，所以a2＝eq\f(16,3)，正方体的表面积S＝6a2＝6×eq\f(16,3)＝32.故选B．
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()
A．eq\f(8π,3) B．eq\f(32π,3)
C．8π D．eq\f(8\r(2)π,3)
【答案】C【解析】设球的半径为R，则截面圆的半径为eq\r(R2－1)，∴截面圆的面积为S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(R2－1)))2＝(R2－1)π＝π.∴R2＝2.∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
4．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()
A．eq\f(r\r(h),2) B．eq\f(r2h,4)
C．eq\r(3,\f(r2h,4)) D．eq\f(r2h,2)
【答案】C【解析】设铁球的半径为R，因为eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝eq\r(3,\f(r2h,4)).故选C．
5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()
A．π B．eq\f(3π,4)
C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)
【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).∴圆柱的体积为V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故选B．
6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
【答案】3【解析】设此球的半径为R，则4πR2＝eq\f(4,3)πR3，R＝3.
7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为________．
【答案】16π【解析】设正四棱锥的高为h，底面边长为a.由V＝eq\f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝eq\r(6).由题意知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(eq\r(3))2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.
8．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．

【答案】eq\f(3,2)【解析】设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．

解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).
10．已知过球面上A，B，C三点的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．

解：因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．
设O′C＝r，OC＝R，