2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案2.4.2等比数列的性质含答案.doc

第2课时等比数列的性质
学习
目标1.掌握等比数列的性质及其应用.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握等比中项的实际应用.(数学运算、数学建模)
3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习
导思1.结合等差数列的性质,思考等比数列应该具备哪些性质?
2.类比等差数列的单调性,分析等比数列的单调性?1.等比数列项的运算性质
(1)等比数列的项之间的关系.
等比数列{an},m,n,p,q∈N*
两项关系an=amqn-m三项关系若m+n=2p,则an·am=QUOTE四项关系若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(2)“子数列”性质.
对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;
若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.
(3)两等比数列合成数列的性质.
若数列{an},{bn}均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列{can},{QUOTE},{an·bn},QUOTE也为等比数列.
等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗?
提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=QUOTE.
2.等比数列的单调性
递增数列a1>0q>1a1<00<q<1递减数列a1>00<q<1a1<0q>1当q=1,q<0时,分别是什么数列?
提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)等比数列{an}中a2·a6=QUOTE. ()
(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列. ()
(3)等比数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列. ()
提示:(1)×.a2·a6=QUOTE.
(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.
(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.
2.等比数列{an}的公比q=-QUOTE,a1=QUOTE,则数列{an}是 ()
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
【解析】选D.由于公比q=-QUOTE<0,
所以数列{an}是摆动数列.
3.(教材二次开发:练习改编)在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=.
【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,
所以a8·a9·a10·a11=102=100.
答案:100
关键能力·合作学习
类型一等比数列的性质及应用(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
1.已知数列{an}是正项等比数列,若QUOTE是a2和a8的等比中项,则a1a3a5a7a9的值是 ()
A.5QUOTEB.25QUOTE
C.5 D.55
【解析】选B.因为QUOTE是a2和a8的等比中项,
所以a2·a8=5,
又a1a9=a3a7=QUOTE=a2·a8=5,a5>0,
所以a5=QUOTE,则a1a3a5a7a9=25QUOTE.
2.在等比数列{an}中,a1+a2=10,a3+a4=60,则a7+a8= ()
A.110 B.160
C.360 D.2160
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a2=10,a3+a4=60,
所以q2(a1+a2)=10q2=60,
解得q2=6.
则a7+a8=q6(a1+a2)=10×63=2160.
3.等比数列{an}中,a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,则a2a6a10= ()
A.8 B.-8 C.4 D.8或-8
【解析】选B.根据题意,等比数列{an}中,
有a4a8=a2a10=QUOTE,
a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,
则a4a8=4,a4+a8=-10,
则a4<0,a8<0,则有a6=a4q2<0,
即a6=-2,所以a2a6a10=(a6)3=-8.
利用性质简化运算
有关等比数列的计算,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质充分发挥项的“下标”的指导作用可优化解题过程.
【补偿训练】
1.已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7= ()
A.1 B.3 C.6 D.9
【解析】选D.因为等比数列{an}的各项均为正数,且log3a1+log3a2+…+log3a12=12,
即log3(a1·a2·…·a12)=12,
所以a1·a2·…·a12=312,
所以(a6a7)6=31