2022高三全国统考数学北师大版理一轮复习学案5.3-平面向量的数量积与平面向量的应用含解析2.docx

5.3平面向量的数量积与平面向量的应用
必备知识预案自诊
知识梳理
1.平面向量的数量积
定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b续表
投影|a|cosθ叫作向量a在b方向上的投影,|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积2.向量数量积的运算律
交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结
合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)3.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
向量的有
关概念几何表示坐标表示模|a|=a·a|a|=x12+y12数量积|a||b|cosθx1x2+y1y2夹角cosθ=a·b|a||b|cosθ=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22A(x1,y1),
B(x2,y2)
两点的距离|AB|=|AB||AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2a⊥b的充
要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与
|a||b|的关系|a·b|≤
|a||b||x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y224.向量在平面几何中的应用
(1)要证AB=CD,可转化为证明AB2=CD2或|AB|=|CD|.
(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式AB=λCD成立即可.
(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证AB·CD=0.
(4)求夹角问题,利用夹角公式cosθ=a·b|a||b|.

1.平面向量数量积运算的常用公式:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)一个非零向量在另一个非零向量方向上的投影为数量,且有正有负. ()
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角. ()
(3)若a·b=0,则必有a⊥b. ()
(4)(a·b)·c=a·(b·c). ()
(5)在△ABC中,若AB·BC<0,则△ABC为钝角三角形. ()
2.(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=()
A.-3135 B.-1935 C.1735 D.1935
3.(2019全国2,理3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=()
A.-3 B.-2 C.2 D.3
4.(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=.
5.(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=.
关键能力学案突破
考点平面向量数量积的运算【例1】(1)(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是 ()
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
(2)(2020北京,13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=12(AB+AC),则|PD|=;PB·PD=.
思考求向量数量积的运算有几种形式?
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
对点训练1(1)(2020北京朝阳期中,7)在△ABC中,AB=4,AC=3,且|AB+AC|=|AB-AC|,则BC·CA=()
A.-12 B.-9 C.9 D.12
(2)(2020北京海淀期中,14)在边长为2的正三角形ABC中,M是BC的中点,D是线段AM的中点.①若BD=xBA+yBC,则x+y=;②BD·BM=.
考点平面向量的模及应用【例2】(1)(2020陕西二模,文3)已知向量a=(1,-1),b=(x,2),且a⊥b,则|a+b|的值为