新教材人教A版数学必修第二册学案第7章7.2.2-复数的乘除运算Word版含解析.doc

7.2.2复数的乘、除运算
学习任务核心素养1．掌握复数的乘法和除法运算．(重点、难点)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)1．通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养．
2．借助复数的乘除运算，提升数学运算的素养．两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？
问题：(1)多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？
(2)复数(a＋bi)(c＋di)的运算结果是什么？
知识点1复数的乘法
1．复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
(2)|z|2＝z2，正确吗？
[提示](1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．
1．复数(3＋2i)i等于()
A．－2－3iB．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
B[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B．]
2．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
2[∵(a＋2i)(1＋i)＝a＋ai＋2i＋2i2＝a－2＋(a＋2)i，其实部为0，∴a－2＝0，∴a＝2．]
知识点2复数的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
3．已知i是虚数单位，则eq\f(3＋i,1－i)＝()
A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i
D[eq\f(3＋i,1－i)＝eq\f(3＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2＋4i,2)＝1＋2i．]
类型1复数代数形式的乘法运算
【例1】(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，1)B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)；
②(1＋i)2；
③(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)．
(1)B[z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))
解得a<－1，故选B．]
(2)[解]①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．
②(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i．
③原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)
＝(－8＋i)(－1＋3i)
＝8－24i－i＋3i2
＝5－25i．
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i．
eq\o([跟进训练])
1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是()
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
(1)C(2)5[(1)A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．
C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选C．
(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，
所以z的实部是5．]
类型2复数代数形式的除法运算
【例2】(对接教材P79例5)(1)eq\f(3＋i,1＋i)＝()
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为()
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
(