7.应用举例4.doc

教师课时教案
备课人授课时间课题§1.2应用举例(4)课标要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题教
学
目
标知识目标掌握三角形的面积公式的简单推导和应用技能目标巩固所学知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力情感态度价值观进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题教

学

过

程

及

方

法问题与情境及教师活动学生活动Ⅰ.课题导入
以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
同理可得，S=bcsinA,S=acsinB
即：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦也可求出三角形的面积。
Ⅱ.讲授新课
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;

学生回答

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教师课时教案
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学

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法问题与情境及教师活动学生活动（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，
=
c=
S=bcsinA=b
A=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5
S=3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB=
=
≈0.7697
sinB=≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
分析：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，

学生分析回答

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教师课时教案
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法问题与情境及教师活动学生活动cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
===k
显然k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)

=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个

由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。

学生分析解答

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方

法问题与情境及教师活动学生活动数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18

变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
acosA=bcosB
sinC=
（1）提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
解：（余弦定理）得
a=b
c=

根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,或2A+2B=180，
A=B或A+