新教材学案第3章3.4函数的应用一含答案.doc

3.4函数的应用(一)
学习任务核心素养1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)1．通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．
2．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
类型1一次函数模型的应用
【例1】城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978－2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿．假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t(限定t<50)年的城镇常住人口为f(t)亿．写出f(t)的解析式，并由此估算出我国2022年的城镇常住人口数．
[解]因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f(t)是一次函数，设f(t)＝kt＋b，其中k，b是常数．
注意到2013年是1978年后的第2013－1978＝35年，因此
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝1.7，,f35＝7.3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1.7，,35k＋b＝7.3，))
解得k＝0.16，b＝1.7.因此
f(t)＝0.16t＋1.7，t∈N且t<50.
又因为2022年是1978年后的第2022－1978＝44年，而且f(44)＝0.16×44＋1.7＝8.74，
所以由此可估算出我国2022年的城镇常住人口为8.74亿．

一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．

eq\a\vs4\al([跟进训练])
1．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：

①通话2分钟，需要付电话费________元；
②通话5分钟，需要付电话费________元；
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
①3.6②6③y＝1.2t(t≥3)[①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]
类型2二次函数模型的应用
【例2】某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满．已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？
[解]设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元．
因为此时每间房单价为200＋20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160－10x间，因此
y＝(200＋20x)(160－10x)
＝200(10＋x)(16－x)
＝200(－x2＋6x＋160)
＝200[－(x－3)2＋169]
＝－200(x－3)2＋33800.
从而可知，当x＝3时，y的最大值为33800.
因此每间房单价提到200＋20×3＝260元时，每天客房的租金总收入最高．

二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值常常结合二次函数的图象来解答．

eq\a\vs4\al([跟进训练])
2．A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
[解](1)由题意设A城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.
设B城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，
∴A、B两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.
∵λ＝0.25，
∴y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．
(2)由y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000
＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))2＋eq