【高考理科数学考点专题】考点59 坐标系与参数方程.docx

专题59坐标系与参数方程

1．坐标系
（1）理解坐标系的作用.
（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
2．参数方程
（1）了解参数方程，了解参数的意义.
（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.
（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.

一、坐标系
1．极坐标系的概念
在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)(x≠0).))

3．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρeq\o\al(2,0)－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；
(3)当圆心位于，半径为a：ρ＝2asinθ.
4．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
(3)直线过且平行于极轴：ρsinθ＝b.
二、参数方程
1.直线的参数方程
若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为QUOTE(t为参数).这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.
2.圆的参数方程
若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为QUOTE0≤θ≤2π.
3.椭圆的参数方程
若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为QUOTE0≤t≤2π.
【解题必备】一、参数方程与普通方程的互化技巧
1.参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.
2.普通方程化为参数方程
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.
二、直线与圆锥曲线的参数方程的应用规律
解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为:
第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程;
第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.
另外,当直线经过点P(x0,y0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时,可以把直线的参数方程设成QUOTE(t为参数),交点A,B对应的参数分别为t1,t2,计算时,把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t1+t2,t1·t2,得到|AB|=|t1-t2|=QUOTE.

考向一平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x（λ>0）,y′＝μ·y（μ>0）))的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．

典例1在同一平面直角坐标系中