【高考理科数学考点专题】考点60 不等式选讲.docx

专题60不等式选讲

1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1）.
（2）.
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
.
2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.
（1）柯西不等式的向量形式：
（2）.
（3）.
（此不等式通常称为平面三角不等式.）
3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：

4．会用向量递归方法讨论排序不等式.
5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.
6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：

了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.
7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.
8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

一、不等式的求解
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式a>0a=0a<0|x|<a{x|-a<x<a}|x|>a{x|x>a或x<-a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
2．绝对值三角不等式
(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
(3)推论1:||a|-|b||≤|a+b|.
(4)推论2:||a|-|b||≤|a-b|.
【技能方法】
（一）含绝对值不等式的解法
方法解读适合题型1公式法利用公式|x|<a⇔-a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<-a(a>0)直接求解不等式|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)2平方法利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)3零点分段法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a4几何法利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解|x±a|±|x±b|≤c，
|x±a|±|x±b|≥c5图象法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|
-a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a（二）含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律
1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.
2．巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.
(1)求|a|-|b|的范围:若a±b为常数M,可利用||a|-|b||≤|a±b|⇔-|M|≤|a|-|b|≤|M|确定范围.
(2)求|a|+|b|的最小值:若a±b为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.
3．f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a,f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
二、不等式的证明
1．基本不等式
(1)基本不等式:如果a,b>0,那么QUOTE，当且仅当a=b时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即QUOTE,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
2．柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k使α=kβ时,等号成立.
(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么QUOTE.
(4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(