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选修2-2微积分基本定理习题及答案

一、选择题1．(2010·山东日照模考)a＝?2xdx，b＝?2exdx，c＝?2sinxdx，则a、b、c的大小关系是?0?0?0()A．a1[解析]a＝?2xdx＝2|02＝2，b＝?2exdx＝ex|02＝e2－1>2，c＝?2sinxdx＝－cosx|02＝12???B．a－cos2∈(1,2)，∴c2．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()112[答案]A?y＝x2?[解析]由?3得交点为(0,0)，(1,1)．?y＝x?1B.4137D.121314??11∴S＝?1(x2－x3)dx＝??3x－4x??0＝12.?[点评]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是()416?A.??39?415?C.??37?[答案]At3[解析]设P(t，t)(0≤t≤2)，则直线OP：y＝tx，∴S1＝?(tx－x)dx＝S2＝?2(x2－6??2t2t416B.??59413D.??574168t34tx)dx＝－2t，若S1＝S2，则t＝P??3，9.3633．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为()A．44B.3185D．6[答案]Ax4?2[解析]S＝?xdx＝4?0＝4.?2304．(2010·湖南省考试院调研)?1－1(sinx＋1)dx的值为()?A．0B．2D．2－2cos1C．2＋2cos1[答案]B[解析]?1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.?5．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2π3π2[答案]A[解析]如右图，S＝∫02π(1－cosx)dx＝(x－sinx)|02π＝2π.[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为B．3πD．π?ππ?，则对称性就无能为力了．?6?6．函数F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上()?0A．有最大值0，无最小值32B．有最大值0和最小值－332C．有最小值－，无最大值3D．既无最大值也无最小值[答案]B[解析]F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，73225∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)，F(5)＝－.33332∴最大值为0，最小值为－.3[点评]一般地，F(x)＝?xφ(t)dt的导数F′(x)＝φ(x)．?017．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f(x)＝?xdt，若f(x)的取?t1值范围是()A.?3??6?－11B．(0，e21)D．(0，e11)C．(e，e)[答案]D1[解析]f(x)＝?xdt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx?t18．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()1π2B.π3ππD.4[答案]A[解析]由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝?π?0sinxdx＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P＝212ππSS矩形OABCx＋2?－2≤x9．(2010·吉林质检)函数f(x)＝?的图象与x轴所围成的图形面积S为π2cosx?0≤x≤??2?()32B．1C．41D.2[答案]Cππ[解析]面积S＝2f(x)dx＝?0－2(x＋2)dx＋∫2cosxdx＝2＋2＝4.22?10．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]x＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)3的图象交点的个数记为n，则?ng(x)dx的值是()?m5A．－24B．－35C．－4[答案]A7D．－6[解析]由题意可得，当0－dx＝－?14＝－.所以m＝1，n＝4，则?g(x)dx＝??6?2?m?1?3n4211．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可