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不定积分的方法总结

总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析，从而做出带有规律性的结论，它能够使头脑更加清醒，目标更加明确，不如我们来制定一份总结吧。总结怎么写才能发挥它的作用呢？以下是小编为大家收集的不定积分的方法总结，希望对大家有所帮助。教学过程：在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-----求不定积分.一、原函数１．引例1：已知物体运动方程ss(t)，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t的函数vv(t),求物体的运动方程ss(t),使它的导数s(t)等于vv(t),这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数PP(t),则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P(t).反之,若已知某产量的变化率是时间t的函数P(t),求该产品产量函数P(t),也是一个求导数运算的逆运算的问题.2.【定义5.1】（原函数）设f(x)是定义在区间I上的函数．若存在可导函数F(x)，对xI均有F(x)f(x)ordF(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数.例如：由(sinx)cosx知sinx是cosx的一个原函数；又(sinx5)cosx,(sinxc)cosx（c是常数），所以sinx5,sinxc也都是函数cosx的一个原函数.再如：由(2x3)6x2知2x是6x的一个原函数；32(2x3c)6x2，所以2x3c（c是常数）也是6x2的一个原函数．注意：没有指明区间时，应默认为区间就是函数定义域．二、不定积分1．原函数性质观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质(1)若f(x)C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x).(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则F(x)C都是f(x)的原函数,其中C为任意常数.(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)G(x)C.证明：F(x)G(x)F(x)G(x)f(x)f(x)0.CR,s.t.F(x)G(x)C.(4)设F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数为F(x)C（其中C为任意常数）.2.【定义5.2】函数f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作CR,s.t.f(x)dx.即若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则有f(x)dxF(x)C,C为任意常数.说明：(1)---积分号；(2)f(x)---被积函数；(3)f(x)dx----被积表达式.(4)x----积分变量.3.结论：①连续函数一定有原函数．②f(x)若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数？例：edx,sinxdx，x22sinxxdx）（一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx.2解（1）∵(x)3x，∴32233xdxxC.x6x655（2）C.x,xdx66例2求解11x2dx.arctanx1,21x11x2dxarctanxC.1提问：dxarccotxC对吗？1x21例3求dx.x11解:(lnx),dxlnxC.xx例4:某商品边际成本为1002x,则总成本函数为C(x)(1002x)dx100xx2C.3．导数与不定积分的关系f(x)dxf(x)C.df(x)dxf(x).dx可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的提问:如何验证积分的结果是正确的?(积分的导数是被积函数时正确)三、不定积分的几何意义如图：f(x)dxF(x)C，函数f(x)的不定积分表示斜率为f(x)的原函数对应的一簇积分曲线.在同一点x0处积分曲线簇的切线平行.此曲线蔟可由F(x)沿y轴上下平行移动而得到．积分曲线：函数f(x)原函数yF(x)的图形称为f(x)的积分曲线.不定积分的几何意义：f(x)的不定积分是一簇积分曲线F(x)C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.例5设曲线通过点P(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线为yf(x),依题意知x2dy2x,dx2x,2xdxx2C,2于是f(x)xC,由f(1)2C1,所求曲线方程为yx1.提问：如何验证积分的结果是正确的？（结果求导必须是被积函数）小结：１．F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数F(x)c为f(x)的不定积分，即2f(x)dxF(x)c２．注意当积分号消失时常数ｃ产生．３．熟记积分公式，注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分．课后记：存在的问题不能正确理解几何意义；计算错误较多，找不对原函数，写掉积分常数C.【提问】判断下列结论