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用量子力学计算氢原子

下面是小编整理的用量子力学计算氢原子的论文，欢迎各位物理学毕业的同学借鉴哦! 摘要：氢原子是最简单的原子，在量子力学建立过程中有着特殊地位，有必要对其进行详细的求解。该论文用量子力学理论，通过求解氢原子在库伦势场中的定态薛定谔方程，得到氢原子的能量及能量本征函数。 关键词：量子力学氢原子能量本征函数 从17世纪牛顿力学出现以后，直到19世纪，电动力学，热力学和统计力学也陆续被建立，从而形成了一个完整的经典物理学体系。可是，在解决黑体辐射、光电效应等实验时，经典物理学遇到了空前的挑战，需建立全新的理论来解决面临的困难。1900年，普朗克假说在黑体辐射上有新的突破，1905年，爱因斯坦用量子化解释了光电效应，1913年，玻尔建立“玻尔理论”。但玻尔理论具有一定的局限性，十年之后，量子力学体系逐步建立起来，才完全解释了原子问题。而氢原子是最简单的原子。因此，有必要用量子力学的方法对其进行严格的求解。 1理论计算 氢原子是最简单的原子，它是由一个电荷为的原子核与一个电荷为的电子构成的。如果取无穷远为势能的零点，则质子与电子的库仑势能为V(r)=。则根据定态薛定谔方程可求出氢原子的能量及能量本征函。在以下的计算中，采用自然单位。为方便，给出氢原子的自然单位：长度的自然单位：，能量的自然单位：。氢原子的约化质量为，质子与电子的库仑势能为V(r)=。考虑到V(r)的球对称性，我们采用球极坐标系。而因为[]=0，所以角动量是守恒的，在球极坐标系下，薛定谔方程可表示为： []=E(1) 由于的各分量是守恒的，而各分量不对易，则根据简并定理可知能级有简并。是守恒量，且与的每一个分量都对易，因此体系的守恒量完全集可以方便的选为()，方程(1)的解同时选为的本征态，即： ……(2) 代入式(1)，可得出径向波函数满足方程： =0(3) 和满足方程：而为的本征值，待定。 对于式(3)，若令，则在自然单位下满足： (4) r=0，是微分方程的两个奇点。 当时，按照波函数的统计诠释，在任何体积元中找到粒子的概率都应为有限值。因此，求解径向方程(3)时，只有渐进行为是∝的解才是物理上可接受的解。 当r时，我们只限于讨论束缚态(E﹤0)，则方程(4)可化为： (5) 该方程属合流超几何方程。方程(5)在邻域有界的解为合流超几何函数：(6) 当时，无穷级数解～不满足在无穷远处的束缚态边条件。为了得到物理上允许的解，只要等于0或负整数，可以满足这一条件。按式(6)并将其添上能量的自然单位，得出氢原子的能量本征值：(…)，其中：。与相应的径向波函数可表示为：～其中(添上长度的自然单位)，归一化的径向函数为：， (7) 对于式(4)，在球坐标系下，可表示成： (8) 将式(7)，(8)代入方程(4)，并成为勒让德方程得： (9) 在-1≤≤1的区域内，有两个正则奇点，其余各点均为常数。由此可知，只当(…)时，方程就有一个多项式解，即勒让德多项式：(≤m≤)，它在-1≤≤1区域中是有界的，利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的部分的波函数(实)：()。满足。这样，(10) 由此可得，氢原子的束缚能量本征函数为：其中为式(8)，为式(11)。 2结语 本文运用量子理论，求解了氢原子在库伦势场中的定态薛定谔方程，得到了氢原子的能量及能量本征函数： (1)氢原子的能量为：，其中：…(主量子数);(2)能量本征函数为，其中：，。 参考文献 [1]曾谨言.量子力学导论[M].北京：北京大学出版社，1998. [2]周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社，1979. [3]李钰.一维、二维、三维氢原子能级和电子分布概率[J].广西物理，1998(19). [4]张爱军，耿延珍，吕正山.对氢原子光谱线的讨论[J].大学物理实验，1999(12). [5]罗任远.如何理解量子力学中氢原子的能级[J].赣南师范学院学报，1999(6).