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2013考研证明题系列-题目4

第一篇：2013考研证明题系列-题目4这道题看上去就比较容易入手。因为题目有两个问题，一般来说，第一问是为第二问做铺垫的，往往第二问可以用到第一问的结论，就算用不到，第一问也会给第二问带来很明确的方向。还是条件入手，分析条件，从正向边界，平面区域，不难得出此题是二重积分和曲线积分的转换问题，应该使用格林公式来做。于是分别对第一问左右两边用格林公式，转换成二重积分。对比二重积分的被积表达式，发现其实并不完全一样。所以这个时候我们又得考虑一下，是不是哪个条件没有用上。仔细观察下给的条件，发现积分区域没用上，这个区域有个特点，就是很对称，不过不关于x轴也不关于y轴对称，而是关于y=x对称。于是OK了。利用这种对称性，成功的证明两个二重积分是相等的了！下面接着做第二问。第二问是一个不等式问题，如果没有第一问的铺垫，也算是比较难的了，不过有了第一问，那么就相对简单些了。先做一些处理这一步也算是得力于第一问了。就是利用y=x对称的这个性质！这样一来，我们将多变量转换成了单变量，这也是做题的一种策略！可是即使做到这一步，我们也无法直接得出结论，并且e^sinx这种函数是无法积分（准确说无法找出初等原函数），加上题目本身也不是让你准确积出来，而是证明不等式，所以联想到放缩！于是下一步考察e^x+e^（-x）这个函数的性质为了能够积分容易，泰勒公式是一个不错的选择，它将各种函数都弄成了幂函数的形式，而幂函数正是很容易积分的形式。于是，将e^x+e^（-x）在x=0点展开。一放缩，本题就得出答案了，具体过程如下。最后总结一下这道题目题目分析过程不算特别难，主要就是格林公式的应用和二重积分的对称性，以及最后的泰勒公式展开。但是有两个地方值得挖掘（1）题目可以一般化！方法与上面一模一样，这里不赘述。不过需要注意的是，第二问就无法证明大于等于5/2π^2,只能证明大于等于2π^2（2）对于本题的第二问，我们可以从解答中看出，还可以继续不断的进行更强的放缩得到的结果也更加强！这一种方法给我们的启示就是：对于那种无法积出具体分的积分不等式，我们可以利用泰勒展开来做。适当放缩就可以得到答案！下面就这个方法，给一道习题此题左边比较容易，右边稍微有点难，可以尝试一下！第二篇：考研数学证明题题目11今天还是讨论关于不等式的问题。这次的这个不等式大家看见了一定不会陌生，因为思路很容易就拿出来了。就是转化成求一个函数的极值问题。然后解法一就诞生了。上面的方法估计是绝大多数人都会采用的方法，算是一种通法了。也是必须得掌握的重要思想方法之一。然而，是不是这个题目除了这种方法就没有其他的办法来做了呢？答案是否定的。注意到需要证明的不等式可以先化成e^x>x^2-2ax+1，而左边的式子要和幂函数联系起来，很容易想到的就是马克劳林展开。于是可以尝试着看看是否能够利用这个来做。首先可以试着将e^x展开到二阶的，然后看看是否能够证明需要的不等式。发现不行，然后再继续多展开一阶。于是，解法二横空出世。说句实话，就这道题而言，这种方法确实挺复杂的，而且还没有求导的方法精确。不过，这种思想方法对于一些题目来说，却可能是重要的突破口！下面看看一道习题吧。由于这道题目比较难，所以直接给出解答。这个题目可以说相当于反用幂级数的展开，然后利用马克老林余项的估值最后证明出结论。这个看似很一般的题目，中间却蕴含着无限的思想，需要大家细细品味！第三篇：考研数学证明题题目10今天来看看不等式的题目。不等式对于我们来说应该是再熟悉不过的了，初中的时候学过一次二次不等式，高中更是系统学习了不等式，在考研试题里面，也不乏不等式的题目。不等式的题目相对比较灵活，综合性很强，是考察数学能力的一个很好的方式。虽然很活，不过对于考研来说，这些题目也都有一定的方法和思想，是大家可以掌握的。这里就大家比较容易忽略的某些方法说说自己的理解。看到题目应该有一种很相似的感觉。因为不等式的中间部分貌似就是拉格朗日中值定理。于是，有一种冲动，试试这种方法是否可行。尝试了一下，发现左边已经证明出来了。这时应该比较欣慰，因为题目做出了一半。于是心想着，右边应该同理也可以证明吧。不管三七二十一，先试一下。试完以后，悲剧了！居然无法证明出来。怎么办？只有另找一种出路。很多参考书上给的解答都是构造一个辅助函数，这个辅助函数就是将b换成x，成为一个关于x的函数，然后利用导数工具研究这个函数的性质从而得出最终的证明结果。这种方法很典型，需要大家比较熟练运用。不过，对于这道题来说，这种方法有点复杂了，因为构造的函数很长一串儿，看起来也不大舒服。于是可以尝试下其他的方法。对于这道题而言，a,b都是成对的出现的，而且a,b出现的次数都一样，亦即齐次式。所以，我们总可以通过一定变形，使得这个表达式成为一个关于a/b或