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3用导数证明函数不等式的四种常用方法

第一篇：3用导数证明函数不等式的四种常用方法用导数证明函数不等式的四种常用方法本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法.（）x0).例1证明不等式：xln(x1证明设f(x)xln(x1)(x0)，可得欲证结论即f(x)f(0)(x0)，所以只需证明函数f(x)是增函数.而这用导数易证：f(x)1所以欲证结论成立.10(x0)x1注欲证函数不等式f(x)g(x)(xa)(或f(x)g(x)(xa))，只需证明f(x)g(x)0(xa)(或f(x)g(x)0(xa)).设h(x)f(x)g(x)(xa)(或h(x)f(x)g(x)(xa))，即证h(x)0(xa)(或h(x)0(xa)).若h(a)0，则即证h(x)h(a)(xa)(或h(x)h(a)(xa)).接下来，若能证得函数h(x)是增函数即可，这往往用导数容易解决.例2证明不等式：xln(x1).证明设f(x)xln(x1)(x1)，可得欲证结论即f(x)0(x1).显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证f(x)xln(x1)(x1)的最小值是0，而这用导数易证：f(x)11x(x1)x1x1所以函数f(x)在(1,0],[0,)上分别是减函数、增函数，进而可得f(x)minf(1)0(x1)所以欲证结论成立.注欲证函数不等式f(x)()g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)g(x)()0x.(I设h(x)f(x)g(x)(xI)，即证h(x)()0(xI)，也即证h(x)min()0(xI)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决.bex1例3(2014年高考课标全国卷I理科第21题)设函数f(x)aelnx，曲线xxyf(x)在点(1,f(1))处的切线为ye(x1)2．(1)求a,b；(2)证明：f(x)1．x解(1)f(x)aelnxaxbx1bx1e2ee．xxx题设即f(1)2,f(1)e，可求得a1,b2．x(2)即证xlnxxe21(x0)，而这用导数可证(请注意1)：ee设g(x)xlnx(x0)，得g(x)ming．设h(x)xex1e1e12(x0)，得h(x)maxh(1)．ee注i)欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)ming(x)max(xI)，而这用导数往往可以解决.欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)ming(x)max(xI)，或证明f(x)ming(x)max(xI)且两个最值点不相等，而这用导数往往也可以解决.ii)例3第(2)问与《2009年曲靖一中高考冲刺卷理科数学（一）》压轴题第(3)问完全一样，这道压轴题(即第22题)是：已知函数f(x)xlnx,g(x)xax3．(1)求函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值；(2)对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0,)，都有lnx212成立．xeexlnx例4(2013年高考北京卷理科第18题)设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．x(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．解(1)(过程略)L的方程为y＝x－1.lnxx1(当且仅当x1时取等号).xx2－1＋lnxlnx(x0).设g(x)x1，得g′(x)＝x2x(2)即证当01时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，得g(x)单调递增．所以g(x)ming(1)0，得欲证结论成立.(2)的另解即证仅当x1时取等号).设g(x)xxlnx，可得g(x)2lnxx1(当且仅当x1时取等号)，也即证x2xlnx0(当且x2x1(x1)(x0).x进而可得g(x)ming(1)0，所以欲证结论成立.(2)的再解即证lnxx1(当且仅当x1时取等号)，也即证lnxx2x(当且仅当xx1时取等号).2如图1所示，可求得曲线ylnx与yxx(x0)在公共点(1,0)处的切线是yx1，所以接下来只需证明lnxx1,x1x2x(x0)(均当且仅当x1时取等号)前者用导数易证，后者移项配方后显然成立.所以欲证结论成立.图1例5(2013年高考新课标全国卷II理21(2)的等价问题)求证：