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Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用

第一篇：Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用摘要:Cauchy-Schwarz不等式有多种证明方法而且应用广泛.本文归纳了几种Cauchy-Schwarz不等式的典型证明方法,并探讨了Cauchy-Schwarz不等式的应用.关键词:Cauchy-Schwarz不等式;向量空间;内积一、Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法1.第一种证明方法定理1对任意的向量α,β有|(α,β)|≤|α||β|.当且仅当α,β线性相关时,等号才成立.证明当β=0时,不等式成立.设β≠0.令t是一个实变数,作向量γ=α+tβ.不论t取何值,一定有(γ,γ)=(α+tβ,α+tβ)≥0.即(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0(1)取t=.代入(1)式,得(α,α)-≥0，即(α,β)2≤(α,α)(β,β).两边开方便得|(α,β)|≤|α||β|.当α,β线性相关时,等号显然成立.反过来,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或者β=0,或者α-β=0，也就是说α,β线性相关.2.第二种证明方法引理:设V是欧氏空间,ξ,η是V的单位向量,那么，|(ξ,η)|≤1.证明ξ,η既是单位向量,则有(ξ,ξ)=1,(η,η)=1,而|ξ,η|2≥0,即|ξ,η|2=(ξ-η,ξ-η)=(ξ,ξ)+(η,η)-2(ξ,η)=2-2(ξ,η)≥0所以,(ξ,η)≤1;又|ξ,η|2≥0,即|ξ,η|2=(ξ+η,ξ+η)=(ξ,ξ)+(η,η)+2(ξ,η)=2-2(ξ,η)≥0所以,(ξ,η)≥-1.总之,|ξ,η|≤1.定理2设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明10若α,β中有一个是零向量,则结论显然成立;20设α,β都不为零,今将α,β单位化,令ξ=,η=,则由引理.知|(ξ,η)|≤1,而(α,β)=(|α|ξ,|β|η)=|α||β|(ξ,η)所以,|(α,β)|≤|α||β|(ξ,η)≤1.再设ξ与η的夹角为θ,则θ的余弦为cosθ==(ξ,η)由此可知,|(α,β)|≤|α||β|(ξ,η)=1cosθ=±1≤1ξ=±η,此即知α与β线性相关.3.第三种证明方法定理3设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明x1,x2∈R取,则(x1α+x2β,x1α+x2β)≥0,即(α,α)x12+2(α,β)x1x2+(β,β)x22≥0，而此式左端恰为关于x1,x2的半正定二次型,故其矩阵的行列式≥0,即(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)≥0则得|(α,β)|≤|α||β|,且等号成立(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)=0α,β线性相关.二、Cauchy-Schwarz不等式的应用Cauchy-Schwarz不等式在不同的空间对应着不同的形式,下面是它在不同空间上的几种变形.母不等式:设V是欧氏空间,若ξ,η∈V,则(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)(2)上式等号成立的充要条件是ξ,η线性相关.变形一:取V=Rn,令ξ=(a1,a2,…,an),η=(b1,b2,…,bn)则有(a1b1+…+anbn)≤(a12+a22+…+an2)(b12+b12+…+bn2)(3)等号成立的充要条件bi=cai(i=1,2,…n),c是为常数.变形二:取V是定义在[a,b]上一切连续实函数所构成的实线性空间,设f(x),g(x)∈V,则有[f(x)g(x)dx]2≤f2(x)dxg2(x)dx(4)变形三:取V为概率空间,对任意属于V的随机变量ξ与η都有|Eξη|2≤Eξ2Eη2(5)等号成立的充要条件是P(η=t0ξ)=1,t0是某一常数.例1若x1,x2,…,xn均为正数则有(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2(6)证明由(2)式令a1=,a2=,…,an=.b1=,b2=,…,bn=,则有(•+•+…+•)2=n2.而(++…+)(++…+)=(x1+x2+…+xn)(++…+)所以(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2.显然等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.例2已知a、b、c、x、y、z都是实数,并且a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1求证:|ax+by+cz|≤1.证明由不等式(3)有(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)所以,|ax+by+cz|2≤1,即|ax+by+cz|≤1.例3当2x+4y=1时,求证x2+y2≥.证明由不等式(3)有(2x+4y)2≤(22+42)(x2+y2)，所以1≤20(x2+y2)所以(x2+y