一题多解之利用导数证明不等式问题[大全五篇].docx

一题多解之利用导数证明不等式问题[大全五篇]

第一篇：一题多解之利用导数证明不等式问题一题多解之利用导数证明不等式问题构造函数证明不等式的方法：(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式.(2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)=f(x)-g(x).(3)对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x)).例：设f(x)ln(x1)x1axb(a,bR,a,b为常数），曲线yf(x)与直线y相切.(1)求a,b的值.(2)证明：当0x2时，f(x)3x在(0，0)点29x.x6【解题指南】(1)点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立另一个方程，求出a,；(2)构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式。因此g(x)在（0,2）内是递减函数，又g(0)0，则0x2时，g(x)g(0)0所以0x2时，h(x)0，即h(x)f(x)由h(0)0，则0x2时，h(x)h(0)0，故0x2时，h(x)f(x)9x在（0,2）内是递减函数，x69x9x0，即f(x).x6x6方法二：由（1）知，f(x)ln(x1)x11由基本不等式，当x0时，2(x1)1x11x2x1x1（i)2k(x)令k(x)ln(x1)x，则k(0)0，由（i)、（ii）得，当x0时，f(x)h(x)f(x)(x6)f(x)91x10，故k(x)0，即nl(x1)x（ii）x1x13x，记h(x)(x6)f(x)9x，则当0x2时，23111x(x6)()9[3x(x1)(x6)2x12x12(x1)1xx[3x(x1)(x6)(3)18(x1)](7x18)0(2x1)18(x1)]2(x1)24(x1)9x.x6因此h(x)在（0,2）内是递减函数，又h(0)0，得h(x)0，故0x2时，f(x)点评：利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导.(4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.(5)结论.【针对性练习】1．【2015高考北京，理18】已知函数fxln1x．1xx31时，fx2x；（1）求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；（2）求证：当x0，32.设函数f(x)1xlnx在[1,)上是增函数。ax（1）求正实数a的取值范围；（2）设b0,a1，求证：解：（1）f(x)'1ababln.abbbax10对x[1,)恒成立，2ax11对x[1,)恒成立，又1，a1为所求。xxabab1，（2）取x，a1,b0,bb1xlnx在[1,)上是增函数，一方面，由（1）知f(x)axab1abblnab0即lnab1；)f(1)0,f(abbbabbab1x1'0(x1)另一方面，设函数G(x)xlnx(x1)G(x)1xxa∴G(x)在(1,)上是增函数且在xx0处连续，又G(1)10∴当x1时，G(x)G(1)0,∴xlnx,即综上所述，abablnbb1ababln.。abbb2x3.【2015高考广东，理19】设a1，函数f(x)(1x)ea．(1)求f(x)的单调区间；(2)略(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：m3a21．e第二篇：一题多解专题三：利用导数证明不等式问题一题多解专题三：利用导数证明不等式问题1.构造函数证明不等式的方法(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式.(2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)=f(x)-g(x).(3)对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x)).2.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导.(4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.(5)结论.例：设f(x)ln(x1)x1axb(a,bR,a,b为常数），曲线yf(x)与直线y