余弦定理证明过程精编.docx

余弦定理证明过程

第一篇：余弦定理证明过程在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a。分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用边角关系表示，DB可利用AB－AD转化为AD，进而在Rt△AＤC内求解。解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CＤB中，根据勾股定理可得：a2＝CＤ2＋BＤ2∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2c·AＤ＋AＤ2＝b2＋c2－2c·AＤ又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA∴a2＝b2＋c2－2bccosA类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC第二篇：余弦定理证明过程余弦定理证明过程ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)证毕。2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c勾股定理可知：AC²=AD²+DC²b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosBb²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²b²=c²+a²-2ac*cosB所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)同理可得：mb=mc=ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)证毕。第三篇：余弦定理证明余弦定理证明在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c勾股定理可知：AC²=AD²+DC²b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosBb²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²b²=c²+a²-2ac*cosB所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点