函数极限精编.docx

函数极限

第一篇：函数极限《数学分析》教案第三章函数极限xbl第三章函数极限教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。教学时数：16学时§1函数极限概念（3学时）教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：函数极限的概念。教学难点：函数极限的定义及其应用。一、复习：数列极限的概念、性质等二、讲授新课：（一）时函数的极限：《数学分析》教案第三章函数极限xbl例4验证例5验证例6验证证由=为使需有需有为使于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有（三）单侧极限:1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域《数学分析》教案第三章函数极限xbl我们引进了六种极限:.以下以极限，为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：（一）函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):Th4若使，证设和都有=(现证对都存在,且存在点的空心邻域)，有註:若在Th4的条件中,改“就有5.6.以迫敛性:”为“举例说明.”,未必四则运算性质:(只证“+”和“”)（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：《数学分析》教案第三章函数极限xbl例8例9例10已知求和补充题:已知求和（）§3函数极限存在的条件（4学时）教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则运用。教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：Th1设函数在,对任何在点且的某空心邻域内有定义.则极限都存在且相等.(证)存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.例1证明函数极限的双逼原理.7《数学分析》教案第三章函数极限xbl教学难点：两个重要极限的证明及运用。教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．（证）（同理有）例1例2.例3例4例5证明极限不存在.二.证对有例6特别当等.例7例8《数学分析》教案第三章函数极限xbl三．等价无穷小：Th2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用:Th3(等价无穷小替换法则)几组常用等价无穷小:（见[2]）例3时,无穷小与是否等价?例4四.无穷大量:1.定义:2.性质:性质1同号无穷大的和是无穷大.性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大习题课（2学时）一、理论概述：《数学分析》教案第三章函数极限xbl例7.求.注意时,且.先求由Heine归并原则即求得所求极限.例8求是否存在.和.并说明极限解;可见极限不存在.--32第二篇：函数极限习题1.按定义证明下列极限:(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2xx251;(4)lim(3)lim2xx1x2(5)limcosx=cosx0xx04x2=0;2.根据定义2叙述limf(x)≠A.xx03.设limf(x)=A.,证明limf(x0+h)=A.xx0h04.证明:若limf(x)=A,则lim|f(x)|=|A|.当且仅当A为何值时反之也成立?xx0xx05.证明定理3.16.讨论下列函数在x0→0时的极限或左、右极限:(1)f(x)=xx;(2)f(x)=[x]2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.7.设limf(x)=A,证明limf(xxx01)=Ax8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)=0,x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0习题1．求下列极限：x21（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;x02x2x1x22x21x113x;lim(3)lim;