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函数概念的发展和教学研究

第一篇：函数概念的发展和教学研究函数概念的发展和教学研究（华中师范大学数学与应用数学黄样430079）摘要：数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡。本文回顾了函数概念的历史发展，并且回顾了函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，它不仅有助于中学生提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助中学生领悟数学概念对数学发展、数学学习的巨大作用。关键字：函数；概念；发展函数这样一个重要概念的形成和发展是经过了漫长岁月的。在不同的阶段，从观点上和表示方法也不尽相同。回顾函数概念的定义以及演变历史，对加深函数概念的理解大有裨益。函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，中学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。函数概念的三种定义在当代国内外教学教材中,关于函数概念有三种代表定义。(1)变量说函数概念的形成和发展经历了很长的时期。变量说是函数的原始定义,它把函数定义为：依一定规律依赖于一个变量的另一个变量。虽然这一定义简单粗糙，但人们对它的探索却是最漫长的。函数概念萌芽于17世纪时对方程个数时的不定方程的求解，例如对方程x+y=100写成y=100﹣x，则y值的变化取决于x的赋值，这就产生了变量概念及依存关系。把“函数”一词最早用做数学术语的是莱布尼兹（G.W.Leibnitz）。在他1673年的一部手稿里用“函数”（function）一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，如切线、法线等的长度及纵坐标。而曲线本身则是由方程给出的。莱布尼兹还引用了“常量”、“变量”和“参变量”。直至1718年，约翰·伯努利给出了“解析的函数概念”：“函数是由任意变数和常数的任意形成所构成的量”，这是函数概念的第一次扩张。而后约翰·伯努利的学生欧拉（LeonardEuler）发展了这种函数“变量说”。1748年，欧拉将“解析表达式”定义为函数，他说：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量组成以任何方式组成的。”并创用函数符号y=f(x)，其中f解释为由变数与常数组成的解析表达式。这个定义是不完善的，它把函数这一广泛的概念与某个解析表达式混在一起，而把图形或其它方式给出的函数排除在外了。因而欧拉（L.Euler）为了适应积分需要，把函数的概念进一步向“图象定义”推进。在1775年由欧拉精确化：如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量-----即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，那么前面的变量称为后面变量的函数。他认为，任意画出的曲线表示所确定的x、y间的关系就是函数。并和达朗贝尔（Dalembert）在弦振动的研究中首先采用了函数记号。但这个定义强调“随着变化”而缩小了函数概念的外延。后来，由于积分运算式子以及分段函数等等都不符合一个解析式的定义，1821年，法国数学家柯西（Cauchy）对函数概念进行了扩张，先后两次将函数定义为变量之间的依赖关系：“在某些变量之间存在着一定的关系，当给定其中某一变量时，其它变量的值也随之确定，则称最初给定的变量为自变量，随之确定的量为函数。”此后，1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）提出了函数的定义：对于x的每一个值，y都有一或多个确定的值与之对应，那么y叫做x的函数。几乎同时，黎曼也给出了函数的定义：对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，不论x、y所建立的对应方式如何，y都叫做x的函数。黎曼的定义已十分接近现在许多初中教科书所采用的定义。它出色地避免了函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以清晰完美的方式为人们所接受。这个定义也为19世纪数学的发展指明了道路[1]。(2)对应说与关系说“对应说”是函数的近代定义，其内容是这样的：给定两个集合A和B，如果按照某一确定的对应法则f，对于集合A内的每一个元素x有唯一的一个元素y∈B与它相对应，那么f就是确定在集合A上的函数，A称为函数的定义域，f(A)=｛y︱y=f(x),x∈A｝称为函数的值域，显然f(A)包含于B。自17世纪引入函数的“变量说”以来，人们发现它有很大的缺点。首先变量的意义是不清楚的。其次，“变量说”中函数已允许连续或不连续地取值了。但是，x一般能取的值是a≤x≤b，并且x总是被考虑为连续取值。于是人们就想，能否扩大x的取值范围，或干脆取消把变量限制在数中的条件。19世纪，椭圆函数、超椭圆函数和阿贝尔函数的产生，使代数函