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勾股定理教学设计

第一篇：勾股定理教学设计勾股定理目标认知学习目标：掌握勾股定理及其逆定理.能够比较熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长，求出第三条边长，会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形.勾股定理是平面几何中的一个十分重要的定理，它反映了直角三角形中三边之间的数量关系.在理论和实际中应用很广泛.重点：理解和掌握勾股定理及其逆定理，以及应用．难点：理解勾股定理的推导．知识要点梳理知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的边之间的平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积），在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积），所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。.，所以。知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。知识点四：原命题与逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题。如果其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题。知识点五：勾股定理的逆定理如果三角形的三条边a、b，c，满足a2＋b2＝c2．那么这个三角形是直角三角形．要点诠释：勾股定理及其逆定理的区别在于勾股定理从“形”（一个三角形是直角三角形）出发，得出三边数量关系（a2＋b2＝c2），而勾股定理的逆定理从三边数量关系（a2＋b2＝c2）出发，判断其形（三角形是直角三角形），它是判断一个三角形是否是直角三角形或一个角是否是直角的有效方法。规律方法指导1.掌握直角三角形的性质如上图1，直角ΔABC的性质：(1)勾股定理:∠C=90°，则有c2=a2+b2(2)∠C=90°，则有∠A+∠B=90°,(3)∠C=90°，则有c>a,c>b。2.在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2)在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3)在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=总结升华：在应用勾股定理进行计算时一定要看清哪条是直角边哪条是斜边。举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13,CD=12∴AC2=AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=33∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB=4∴AB的长是4.中，，.求：BC的长.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在思路点拨：由条件D，则有，想到构造含角的直角三角形，为此作于，解析：作∴，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.于D，则因，（直角三角形的两个锐角互余）∴的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在根据勾股定理，在∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对中，.中，..总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.4举一反三【变式1】如图，已知：求证：，.，于P.思路点拨:图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的