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强化命题证明一类数列不等式

第一篇：强化命题证明一类数列不等式该文发表于《中学数学教学参考》2006年第12期强化命题证明一类数列不等式201203华东师大二附中任念兵数列不等式是近年来高考和竞赛中的热点题型，其中一类形如in0n1C（C为常数）ai的证明题难度较大.由于此类不等式的右边是常数，所以数学归纳法证明无法实现归纳过渡，但通过对归纳过渡过程的研究,可以放缩右边的常数,将命题加强为in0an1iC1,其中gngn0表示关于正整数n的函数式,从而可以构造单调递减数列巧妙的证明这类问题.例1：求证：19111nN*2252n1491111„„„„„„（1）252n124gn分析：①首先假设命题可以强化为接着思考的问题自然是：要使加强命题成立，gn应满足什么条件呢？②既然加强命题（1）成立，则可以利用数学归纳法加以证明：111.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2)n1时,94g1归纳假设191111,接下来要证252k124gk111111„„„„„„„„„„„„„„(3)229254gk12k12k3而由归纳假设只能得到19111111.如果能证得252k122k324gk2k3211111，即4gk2k324gk1111.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(4)gkgk12k32则可以由不等式的传递性知道（3）式成立，从而由归纳法原理证明了加强命题（1）.从上述分析可知,gn必须同时满足(2)(4)两式.③明确gn应满足的条件后,我们就可以“确定”gn的表达式了.观察(4)式的结构,不等式右边分母是二次多项式,于是我们考虑到,如果gn是一次多项式,则不等式左边通分后也是一个二次多项式,这样(4)式就转化为两个二次多项式的比较,从而可以通过gn的系数控制使(4)式成立.设gnanb(a,b为待定的常数),将gnanb代入(4)式知a2k32akbakab对kN*恒成立,整理得4ak212ak9aa2k22aba2kbab对kN*恒成立,比较各项系数得a4,b4.又因为gnanb同时满足(2)式,代入得ab36.所以,不妨取a4,b4,5即得gn4n4.从而,原不等式可以加强为:11111nN*.„„„„„„„„„„„„„„„(5)9252n1244n4④将上述分析过程略加整理就能得到加强命题的数学归纳法证明,而下面利用数列单调性的方法更为简捷.证明:记fnfn1fn1111,则有9252n124n42n321111220即fn单调递4n144n44n12n94n12n8减,故fnf1,加强命题(5)得证.984注:上述证明的关键步骤fn1fn0实际上就是分析过程中的(4)式.我们不难发现处理此类问题的一般步骤是:首先假设加强命题in0n成立,Caign接着明确gn应满足的条件，然后确定gn的表达式，最后构造单调递减数列完成巧妙的证明.按照这样的思路我们再看下面两个例子:11115例2:求证:23nnN*.212121213分析:假设加强命题为：111151.gn应同时满足23n2121213gn21151.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(6)213g1111.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(7)k1gkgk121观察(7)式的结构,不等式右边的分母是指数结构,因此我们考虑gn是指数结构.设和gna2n,将gna2n代入(8)式知a2k12k11恒成立,故有a1.又因为gna2n同时满足(6)式,代入得a3377.因此得a1,不妨取a,即得gn2n,4848以下略.例3:已知正整数n1,求证:1分析:假设加强命题为：111119.2！3！n!511191.gn应同时满足2！3！n!5gn191.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(8)25g2111.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(9)gkgk1k1!k1对k2恒成立,故有a2.又因为gnan!同时满足(8)式,a和观察(9)式的结构,不等式右边是阶乘结构,因此我们考虑gn是阶乘结构.设gnan!.将gna