放缩法证明数列不等式精编.docx

放缩法证明数列不等式

第一篇：放缩法证明数列不等式放缩法证明不等式1、设数列an的前n项的和Sn43an132nn13(n1,2,3,)n（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tnan42nn2Sn(n1,2,3,)，证明：Tii1解：易求SnTn（其中n为正整数）nn432nann132n14n23n2n12n1121nSn2n112111nn122121所以：i1Ti31311n12212122、求证：（1）11法1：数归（两边都可以）法2：放缩裂项法3：定积分放缩（2）22nN)1n1n31n11n法1：放缩一：n(n1)(n2)Sn1n1n(133652)（1516531n11n)＝1133612140011121400123893600(1124003600.放缩二：1n1n1(n1)(n1)2n1n1),(n2)Sn541n（112)111111111()22435n2nn1n11111151115()().223nn142233放缩三：1n1n(n112)(n12)（1n1n12)2（12n112n1),(n1)Sn1n12（1312n112n1)12（1312n1)法2：数归——加强命题：常用的放缩公式：1n(n1)2nn11n1n1n1n(n1)1n；nn12nnn1；nn2n1；abambm(ba0,m0)1kk(k1)(k1)1n11k(k1)111*(k2,kN)2k(k1)k(k1)1nknkn1k!1n2...kn11(k3)(k2)；212n1nk!k(k1)(k2)nan例3：已知：1(nN)，求证：aii1n2法1：均值不等式：即证715n2...212n1n1n2也即：715...212nn1n1而:715...212n11n法2：放缩后裂项求和an21212n1n1（212(21nn)1n1=121(2n1n1)(21)n=21nn11)法3：数归，但是直接去证是不行的，要转化为一个加强命题4．定义数列如下：a12,an1anan1,nN证明：（1）对于nN恒有an1an成立。2（2）当n2且nN，有an1anan1a2a11成立。（3）120061a11a21a20061。解：（1）用数学归纳法易证。（2）由an1anan1得：an11an(an1)an1an1(an11)……a21a1(a11)以上各式两边分别相乘得：an11anan1a2a1(a11)，又a12an1anan1a2a11（3）要证不等式120061a11a21a20061，可先设法求和：1a11a2a2006，再进行适当的放缩。an11an(an1)1an111an1a11an11an1an11a21an111a2006（1a1111a211)（1a211a31)（1a200611a20071)a11a2007111a1a2a20061又a1a2a2006a120062200611a1a2a200612006原不等式得证。5．已知数列an中aniinnn21，求证：ai(ai1)3.i1方法一：ai(ai1)ni2121iii(21)(22)ii1i1(21)(21)i11121i.i1ai(ai1)(21)（121121)（121121)（12n11121n)3121n3.方法二：ai(ai1)ii(21)i122i122i122i22ii1.(i2)ni1ai(ai1)2n12(112)3n1n13.n法3：数归证i1ai(ai1)3121n3.（即转化为证明加强命题）6、