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数学分析课程教学大纲

第一篇：数学分析课程教学大纲《数学分析》课程教学大纲(理工科师范类数学教育专业)说明数学分析是理工科师范类数学教育专业的一门必修的基础课。这门课程对于学员加深理论基础的学习，增强基本技能的训练，提高数学修养和业务素质，以便居高临下地分析和处理中学数学教材，有着重要作用。本课程以极限概念为基础，主要内容为一元微积分的理论和应用。本课程的教学目的一要求是：一、使学员对极限思想与方法有较深刻的认识，弄清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成。二、使学员掌握数学分析的基本知识、基本理论与基本技能，提高抽象思维、逻辑推理与运算的能力，并认识到数学分析在自然科学与社会科学中的广泛应用。三、使学员对中学数学的有关内容有较深刻的理性认识，能深入浅出地处理好这些教材内容。本大纲是在国家教委1990年颁布的《中学教师进修高等师范专科数学分析教学大纲》基础上修订而成。本课程课内学时为288学时，其中录像220学时(学时分配见下表)。大纲内容一、函数（一）目的要求１、正确理解和掌握函数概念，了解函数的各种表示法和记号；理解和掌握函数的四则运算与复合，会求函数的定义域；掌握反函数的定义和图象等。２、理解和掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念。３、熟练掌握五种基本初等函数的定义与性质，能熟练地绘出它们的草图。４、了解几个常用的非初等函数的例子。（二）主要内容１、函数概念（函数概念绝对值不等式定义域值域函数的符号图象函数的各种表示法）２、函数的特性种类（有界函数与无界函数单调函数奇函数与偶函数周期函数）３、函数的四则运算与复合４、反函数（定义存在的充要条件图象）５、基本初等函数（幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数）６、初等函数（基本初等函数初等函数）７、几个非初等函数的例子（整数部分函数小数部分函数符号函数狄里赫勒函数黎曼函数）二、极限（一）目的要求１、理解和掌握数列极限与函数极限的概念，掌握它们的有关性质。２、理解和掌握无穷小量与无穷大量的概念，掌握它们的有关性质。３、会用“ε-N”、“ε-δ”、“ε-E”等语言处理极限的有关问题。４、能运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理与两个重要极限，熟练地求极限。（二）主要内容１、数列极限的概念（数列数列极限的定义几何意义）２、数列极限的性质（唯一性有界性保号性保序性两边夹定理四则运算定理单调有界数列极限存在定理）３、子数列（子数列数列极限与子数列极限的关系）４、函数极限的概念（在一点处函数极限的定义左、右极限及其与双边极限的关系χ→∞时的极限几何意义）５、函数极限的定理（函数极限的性质函数极限与数列极限的关系）６、两个重要极限limsinχ──χ＝1lim（1＋1─χ）χ＝еχ→0χ→∞７、无穷小量与无穷大量（无穷小量与无穷大量的定义、关系、性质、无穷大量与无界的区别无穷小量比较）三、连续函数（一）目的要求１、理解和掌握函数连续的概念，一致连续概念要清楚。２、对于间断点及其分类要有清楚的了解。３、掌握闭区间上连续函数的性质。４、了解初等函数的连续性。（二）主要内容１、连续概念（一点处连续、单侧连续与区间上连续的定义间断点及其分类）２、函数在一点处连续的性质（有界性全保号性四则运算复合函数的连续性反函数的连续性）３、闭区间上连续函数的性质（价值性有界性量值定理一致连续定理（均暂不证明））４、初等函数连续性四、实数的连续性（一）目的要求１、了解实数集关于极限运算的封闭性。２、了解实数连续性的几个基本定理的证明方法并掌握其条件与结论。３、了解闭区间上连续函数的性质的证明方法。（二）主要内容１、几个基本定理（闭区间套定理确界确界存在定理聚点聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则）２、闭区间上连续函数性质的证明（一致连续定理不证）五、导数与微分（一）目的要求１、掌握导数与微分的概念及其几何意义，了解它们的应用。２、能熟练地应用导数的定义与求导法则求函数的导数。３、会求一些函数的高阶导数。（二）主要内容１、导数概念（概念引入导数定义几何意义可导与连续的关系）２、求导法则（四则运算复合函数与反函数的导数基本公式表）３、隐函数与参数方程求导（隐函数求导法则参数方程求导法则）４、微分（微分定义几何意义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性微分在近似计算上的应用）５、高阶导数与高阶微分（高阶导数莱布尼兹公式（不证）高阶微分）６、几何应用（曲线的切线方程与法线方程两条曲线的交角弧长的微分）六、微分学中值定理和泰勒公式（一）目的要求１、掌握中值定理的条件、结论和证明方法。２、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。３、会求一些简单函数的泰勒展开式。（二）主要内容１、中值定理（费尔引理罗尔定理拉格朗日定理柯西定