数学换元法范文大全.docx

数学换元法范文大全

第一篇：数学换元法换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。例：1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{a}中，a＝－1，a?a＝a－a，则数列通项a＝___________。4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程＝3的解是_______________。6.不等式log(2－1)?log(2－2)〈2的解集是_______________。【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；2小题：设x＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log4]；3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)第二篇：换元法及其应用换元法及其应用高一（2）班（C3）张宇绪论：目的在于总结数学解题方法，灵活运用换元法解题。（一）选题引入【例一】其中(>1),则【分析】一般得求出的值域比较容易，但当的自变量也是一个函数的时候求其值域相对比较困难，这时候换元法就大派用场了。【解】求的值域，首先要求出的表达式。的值域是_______。函数一般我们习惯还是用【例二】解不等式：来表示，所以要把换成。【分析】这是包含对数函数的不等式，一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻烦，当在一个等式或不等式中对数或指数出现次数很多的时候，一般可以考虑用换元法，把对数或指数换掉，这样可以简化计算的中间过程，减少因为写错写漏而引起的错误。【解】原不等式可以化为：即，以2为底的对数函数是增函数。，以2为底的指数函数是增函数。变量代换的一个共同的特点是：尽可能让外表结构简单明白，尽可能将新鲜的问题转化到熟悉的老问题中去。换元法关键的一步是变量代换，如何选择，如何代换直接影响计算的复杂度，甚至影响到能否解决问题。（二）选题概述解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。（三）选题分类1、局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几