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数列不等式的证明

第一篇：数列不等式的证明数列和式不等式的证明策略罗红波洪湖二中高三（九）班周二第三节（11月13日）数列和式不等式的证明经常在试卷压轴题中出现，在思维能力和方法上要求很高，难度很大，往往让人束手无策，其实，这类不等式的证明，是有一定的规律的，利用S1na1q来证明也能事半功倍，下面用几个例子来简述数列和式不等式的证明S1na1q常用策略。一、基础演练：1、等比数列{an}，公比为q，则{an}的前n项和Sn为（）na1(q1A．)ana1(1q)1(1qn)a1q(q1)B.na1C.1qD.11q2、正项等比数列{an}，公比为q，0q1，{an}的前n项和Sn，以下说法正确的是（）A．S1na11qB.Sa11qC.Saann1qD.Sn11q3、正项数列{a}，{a的前n项和Sann}n，要证明S1n1q，其中0q1，可以去证明（）A．an1qB.an1aqC.an1qD.an1aqnnanan二、典例精讲：例1、等比数列{a1n}，a11,q2，{an}的前n项和Sn，求证：Sn2变式1、正项等比数列{an}，{a1n}的前n项和Sn，a11,Sn2恒成立，求证：0q2例2、已知数列{an}，an12n1，{an}的前n项和S5n，求证：Sn2(Sn3?)aann变式2、数列{n1n}，a3232n1，a11，{a3n1n}的前n项和Sn，求证：Snn2例3、（09四川理22）数列{an}的前n项和Sn，对任意正整数n，都有a4ann5Sn1成立，记bn1a(nN).n(1)求数列{bn}的通项公式；(2)记cnb2nb2n1(nN)，{c3n}的前n项和Tn，求证：Tn2变式3、已知a1n2，求证Sn(1)a1(1)2a2(1)nan1(2)n3三、小结四、课后作业：1、等比数列{a1n}，a12,q3，{an}的前n项和Sn，求证：Sn32、已知数列{an}，an14n2，{an}的前n项和Sn，求证：S2n3第二篇：放缩法证明数列不等式放缩法证明数列不等式基础知识回顾:放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：①等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）②等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。④若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：①裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）②等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题：①此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源