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数值分析教教案18

第一篇：数值分析教教案184.1.3Newton法1.算法的基本思想图4-5牛顿法原理示意图将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。把函数f(x)在某一初始值x0点附近展开成Taylor级数有f(x0)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)取其2!线性部分，近似地代替函数f(x)可得方程的近似式：2f(x)f(x0)(xx0)f(x0)0设f(x0)0，解该近似方程可得：f(x0)x1x0f(x0)可作为方程（4-1）的近似解。重复以上过程，得迭代公式xk1f(xk)xk(k0,1,2,)（4-8）f(xk)按式（4-8）求方程（4-1）的近似解称为Newton法。Newton法也是一种不动点迭代，其迭代函数为f(x)g(x)xf(x)如图（4-5）所示，从几何上看，yf(x0)f(x0)(xx0)为曲线yf(x)过点(x0,f(x0))的切线，x1为切线与x轴交点，x2则x轴的交点。如此继续下去，xk1为曲线上点(x,f(x))处的切线与x轴的交点。因此Newton法是以曲线的切线与x轴的交点作为曲线与x轴的交点的近似，故是曲线上点(x1,f(x1))处的切线与kkNewton法又称为切线法。2.切线法的收敛性理论可以证明，在有根区间[a,b]上，f(x)0,f(x)连续且不变号，则只要选取的初始近似根x0满足f(x0)f(x0)0，切线法必定收敛。它的收敛速度可如下推出。方程f(x)0可以等价地写成f(x)(xx)f(x)，若f(x)0f(x)f(x)移项可得xxf(x)。设g(x)xf(x)，两边求导得f(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0。xx，则必得2，代入[f(x)]另一方面，比较迭代公式xk1f(xk)xkf(xk)和f(x)g(x)xg(x)xg(x)x可知。把函数在点展k1kf(x)成泰勒级数，只取到二阶导数则有：g(x)2g(xk)g(x)g(x)(xkx)(xkx)由2g(x)g(xk)g(x)(xkx)2，移2xk1g(x)0，所以有xk1于xg(x)，得出项并注意g(x)xk1g(x)xk1x(xkx)22为了将式中的g(x)换成ff(x)f(x)(x)，对g(x)[f(x)]2两边求导，并代入f(x)0，则有：f(x)g(x)f(x)*将它代入前式得出f(x)2xk1x(xkx)（4-9）2f(x)f(x)2f(x)是个常数，式（4-9）表明用牛顿迭代公式在某次算得的误差，与上次误差的平方成正比，可见牛顿迭代公式的收敛速度很快，但计算实践表明，当初值不够好时，Newton法可能发散。一般可由问题的实际背景来预测或由对分区间法求得较好的初始值。3.Newton迭代公式Matlab实现按照算法4-4编写迭代法的Matlab程序(函数名:Newton.m).function[p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max1)%f是非线性函数%df是f的微商%p0是初始值%delta是给定允许误差%max1是迭代的最大次数%p1是牛顿法求得的方程的近似值%err是p0的误差估计%k是迭代次数%y=f(p1)p0,feval('f',p0)fork=1:max1p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0);err=abs(p1-p0);p0=p1;p1,err,k,y=feval('f',p1)if(err3x3x2的近似值，给定一个初始值【例4-3】求方程p01.2，误差界为106。首先，在MATLAB命令窗口输入：fplot('[x^3-3*x+2,0]',[-2.52.5]);grid;回车得到如图4-6所示图形，即可知函数f(x)与x轴有交点，也就是说有根，并且从图中能够大致估算到根的位置。3f(x)x3x2：先用一个名为f.m的文件定义函数functiony=f(x)y=x^3-3*x+2;2df(x)3x3：再用一个名为df.m的文件定义函数的微商functiony=df(x)y=3*x^2-3;然后在MATLAB命令窗口输入：>>newton('f','df',1.2,10^(-6),10)图4-6f(x)与x轴交点显示图回车得到如下结果（只给出了最后两次迭代结果）：……k=9p1=1.0004err=4.1596e-004k=10p1=