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极限证明

第一篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(,)上无穷次可微，且f(x)(xn)(n)，求证当kn1时，x，limf(k)(x)0．x2.设f(x)0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2为周期的周期函数之和．xf(n)(x)0．{xn}3.设f(x)在(,)上无穷次可微；f(0)f(0)0xlim求证：n1，n，0xnxn1，使f(n)(xn)0．sin(f(x))1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,)上连续，且xlimx5.设a0,x12a,xn12xn,n1,2,证明权限limnxn存在并求极限值。6.设xn0,n1,2,.证明：若limxn1x,则limxnx.nxnn7.用肯定语气叙述：limxfx.8.a11,an11,求证：ai有极限存在。an1tx9.设函数f定义在a,b上，如果对每点xa,b,极限limft存在且有限（当xa或b时，为单侧极限）。证明：函数f在a,b上有界。10.设limnana,证明：lima12a2nana.n2n211.叙述数列an发散的定义，并证明数列cosn发散。12.证明：若afxdx收敛且limxfx，则0.11an收敛。,n1,2,.求证：22an1an13.a0,b0.a1a,a2b,an22n14.证明公式k11k2nCn，其中C是与n无关的常数，limnn0.15.设fx在[a,)上可微且有界。证明存在一个数列xn[a,),使得limnxn且limnf'xn0.16.设fu具有连续的导函数，且limuf'uA0,Dx,y|x2y2R2,x,y0R0.I1证明：limufu;2求IRf'x2y2dxdy;3求limR2RDR17.设fx于[a,)可导，且f'xc0c为常数,证明：1limxfx;2fx于[a,)必有最小值。18.设limnana,limnbnb,其中b0,用N语言证明limana.nbbnSnx19.设函数列Snx的每一项Snx都在x0连续，U是以x0为中心的某个开区间，在Ux0内闭一致收敛于Sx,又limnSnx0,证明：limSx.xx020.叙述并证明limxfx存在且有限的充分必要条件柯西收敛原理a23.设f(x)=0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在a,上一致连续，24.设a1>0，an1＝an＋，证明＝1nan25.设fx在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，Mh与mh分别表示fx在ah,ah上的上、下确界，又设hn是一趋于0的递减数列，证明：1）limnMhn与limnmhn都存在；2)limn0MhlimnMhn,limn0mhlimnmhn;3)fx在xa处连续的充要条件是llimnMhnimnmhn26设xn满足：|xn1xn||qn||xnxn1|,|qn|r1|,证明xn收敛。27.设ana,用定义证明:limnana28.设x10，xn131xn,(n1,2,)，证明limxn存在并求出来。n3xn29.用“语言”证明lim30.设f(x)(x2)(x1)0x1x3x2，数列xn由如下递推公式定义：x01，xn1f(xn)，(n0，x1n1，2，)，求证：limxn2。31.设fn(x)cosxcos2xcosnx，求证：（A）对任意自然数n，方程fn(x)1在[0,/3)内有且仅有一个正根；（B）设xn[0,1/3)是fn(x)1的根，则limxn/3。n32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xna,yna(xn,yn(a,b))使Limf(xn)A(n)及Limf(yn)B(n)，则对A，B之间的任意数，可找到数列xna，使得Limf(zn)33.设函数f在[a,b]上连续，且f0,记fvnf(av