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构造函数法

第一篇：构造函数法函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种。高等数学中两个重要极限1．limsinx1x0x11x2．lim(1)e（变形lim(1x)xe）x0xx由以上两个极限不难得出，当x0时1．sinxx，2．ln(1x)x（当nN时，(1)ne(1)n1）．下面用构造函数法给出两个结论的证明．（1）构造函数f(x)xsinx，则f(x)1cosx0，所以函数f(x)在(0,)上单调递增，f(x)f(0)0．所以xsinx0，即sinxx．（2）构造函数f(x)xln(1x)，则f(x)11n1n1x0．所以函数f(x)在1x1x(0,)上单调递增，f(x)f(0)0，所以xln(1x)，即ln(1x)x．1要证1n事实上：设1n111e,两边取对数，即证ln1,nn111t,则n(t1),nt11因此得不等式lnt1(t1)t1构造函数g(t)lnt1(t1),下面证明g(t)在(1,)上恒大于0．t11g(t)20,tt∴g(t)在(1,)上单调递增，g(t)g(1)0,即lnt1,1t111∴ln1,∴1nnn1n1e,以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用．第二篇：构造法之构造函数构造法之构造函数：题设条件多元-构造一次函数B：题设有相似结构-构造同结构函数主要介绍C：题设条件满足三角特性-构造三角函数D：其它方面——参考构造函数解不等式A、题设条件多元时，选择构造一次函数例1、已知x.y.z(0,1).求证：x(1y)y(1z)z(1x)1（第15届俄罗斯数学竞赛题）分析此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。可构造一次函数试解本题.证法一函数图像性质法、构造函数f(x)(yz1)x(yzyz1)因为y,z(0,1)，所以f(0)yzyz1(y1)(z1)0f(1)yz1(yzyz1)yz0而f(x)是一次函数，其图象是直线，所以由x0,1恒有f(x)0，即(yz1)x(yzyz1)0，整理可得x(1y)y(1z)z(1x)1证法二函数单调性法、构造一次函数f(x)x(1y)y(1z)z(1x)整理，得：f(x)(1yz)x(yzyz).(0x1)因为0x1，0y1,0z1所以11yz1(1)当01yz1时,f(x)在0,1上是增函数，于是f(x)(2)当11yz0f(x)1yz1；时,f(x)在1,0上是减函数，于是f(x)f(x)=yzyz=1(1y)(1z)1；(3)当1yz0时，即yz1时，f(x)成立。yzyz1yz1。综上所知，所证不等式小结(1)为了利用所构造的一次函数的单调性，将11yz1分成“01yz1,11yz0,1yz0”三种情况讨论，使问题得以解决。(2)解决本题有两个核心的地方，一是将证式构造成一次函数，二是对一次项系数进行逻辑划分。(3)本题也可以构造关于y或z的一次函数，这就需要真正理解函数的实质概念。例2、已知1a,b,c1：，求证:abcabc2证明构造一次函数y(bc1)x2bc，易知bc10，在1又x则由一次函数的性质不难得知当1x1时，y0；又1a1所以xa1时,y(bc1)12bcx1时，y为减函数；=bc1bc(1b)(1c)0时，y0，即(bc1)a2bc0命题得证B、题设条件有相似结构时-构造同样结构的函数例1、a、b、c,R，求证abc1abca1ab1bc1c.证明：构作函数f(x)当任意x1，x2满足0f(x2)f(x1)x21x2x1xx1x，x[0,)，则研究这个函数性质如下：时，0x1x2x11x1x2x1(1x1)(1x2)，所以函数f(x)在[0,)是递增函数.f(|a||b||c|).因为|abc||a||b||c|，所以f(|abc|)即|abc|1|abc||a||b||c|1(|a||b||c|)|a|1|a||b|1|b||a|1|a||b