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构造向量巧解不等式问题

第一篇：构造向量巧解不等式问题构造向量巧解有关不等式问题新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：ab|a||b|cos（其中θ为向量a与b的夹角），则|，又，则易得到以1cos1ab|||a|||bcos|下推论：（1）ab|ab|||；（2）|ab||a||b|；（3）当a与b同向时，ab|ab|||；当a与b反向时，ab|a||b|；（4）当a与b共线时，|ab||a||b|。下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。一、证明不等式例1已知a。、bR，ab12证明：设m=（1，1），n，则2a2b1)ab1||2||a12b12ab12由性质mn|m||n|，得yz1，求证：xyz例2已知x。证明：设m=（1，1，1），n=（x，y，z），则22213mnxyz1||3，|n|xyz222222mnm|||||n，得xyz由性质|22213a2b2c2abcR，求证：例3已知a，b，c。bccaab2222abc)证明：设m，ab)bccaab则mnabc222abc||||2(abc)bcacab（）-----------a2b2c2abc由性质|mn||m||n|，得bccaab2222例4已知a,b为正数，求证：(。ab)(ab)(ab)证明：设m(a，b)，n(a，b)，则33mnab224442233222||ab，|n|ab由性质|mn||m||n|，得22244422332(ab)(ab)(ab)dacd。,b,c,dR例5设a，求证：a证明：设m=（a,b），n=（c,d），则mnadbc2222||ab||cd222由性质ab|ab|||，得222adacd二、比较大小Rda例6已知m,n,a,b,c,dp，q的大小关系为（）A.pqB.pqC.phkabcdbd|h|manc，|k|mnhk||hk|||得由性质|bcdman即pq，故选（A）bdmn三、求最值例7已知m,n,x,y，且m，那么mx+ny的最大值为na，xybR（）A.2222abB.ab2C.a2b22D.a2b2解：设p=（m,n），q=（x,y），则由数量积的坐标运算，得pqmxny而||mn||xy从而有mxnmxy当p与q同向时，mx+ny取最大值m，故选（A）。nxyb例8求函数的最大值。x)解：设，则x2x)，n(1，1)***2mn2x12x|m|2，|n|2由性质mn|m||n|，得x2x2当四、求参数的取值范围113时时，y2max22x2xyy例9设x,y为正数，不等式x恒成立，求a的取值范围。yn)，（1，1）解：设，则||xy||2由性质mn|m||n|，得xyxyyy又不等式x恒成立故有a2黑龙江省大庆市66中学（163000）第二篇：构造函数巧解不等式构造函数巧解不等式湖南黄爱民函数与方程，不等式等联系比较紧密，如果从方程，不等式等问题中所提供的信息得知其本质与函数有关，该题就可考虑运用构造函数的方法求解。构造函数，直接把握问题中的整体性运用函数的性质来解题，是一种制造性的思维活动。因此要求同学们多分析数学题中的条件和结论的结构特征及内在联系，能合理准确地构建相关函数模型。一、构造函数解不等式例1、解不等式810x35x03(x1)x1分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到8102323x5x,启示我们构造函数且题中出现()5()3x1x1x1(x1)f(x)=x3+5x去投石问路。解：将原不等式化为(232)5()x35x，令f(x)=x3+5x，则不等式变为x1x122f()f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上为增函数∴原不等式等价于x，解x1x1之得：－1＜x＜2或x＜－2。例2、解不等式1x220x11x21tan2cos2于是可构造三分析：由xR及的特征联想到万能公式1x21tan2角函数，令x=tanα(22)求解。1tan2解：令x=tanα()0，从222tan113而2sin2sin10sin1∴∴tanα＞,∴x＞26233。3二、构造函数求解含参不等式问题。例3已知不等式11112loga(a1)对大