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正余弦定理的多种证明方法（大全）

第一篇：正余弦定理的多种证明方法（大全）利用向量统一正、余弦定理的证明正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，［1］人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）是用向量的数量积（内积）给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则（1）（正弦定理）==；（2）（余弦定理）c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA。证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=（0，0）、B=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：C=（bcosA,bsinA），以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′（-acosB,asinB）。根据向量的运算：=（-acosB,asinB），=-=（bcosA-c,bsinA）,（1）由=：得asinB=bsinA,即=。同理可得：=。∴==。(2)由=（b-cosA-c）2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA。同理：c2=a2+b2-2abcosC；b2=a2+c2-2accosB。第二篇：余弦定理的多种证明余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：如图：∵a=b-c∴a^2=(b-c)^2（证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。第三篇：正、余弦定理的证明----方法种种（本站推荐）正、余弦定理的证明----方法种种在解三角形的有关知识中，正、余弦定理占有十分重要的地位，是揭示任意三角形边角之间关系的两个重要定理，它们相辅相成，是一个不可分割的整体.要想灵活的应用正、余弦定理解决有关三角形问题，必须熟练掌握这两个定理的证明，本文归纳了正、余弦定理的几种常见证明方法，希望能对同学们的正、余弦定理的学习有所帮助和启示．一、正弦定理的证明正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abc.sinAsinBsinC教材中给出了用三角函数定义的证明，除此以外还可以用向量法和几何法来证明正弦定理.证明：方法一（向量法）：如图（1），△ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于AB，则j与AB的夹角为，j与BC的夹角为B，j与CA的夹角为222A，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵ABBCCA0，∴jABjBCjCAj00，即jABcosjBCcosBjCAcosA0.222ab.sinAsinBbcabc同理可得：,即.sinBs