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用数学归纳法证明数列不等式

第一篇：用数学归纳法证明数列不等式【例1】（2012全国大纲卷理22）函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.（1）证明:2xnxn13；（2）求数列xn的通项公式.【证】（1）证：直线PQn的方程为y5f(xn)5(x4)，即y5(xn2)(x4)，xn44x35令y0，解得xn14.nxn2xn2下用数学归纳法证明2xn3：①当n1时，x12，所以2x13.②假设当nk时结论成立，即2xk3，则当nk1时，由xk1411555xk13，故xk14，得4，即42232xk2*2xk13.由①②知，对一切nN都有2xn3.4xn3xn22xn3(3xn)(xn1)从而xn1xnxn0，故xn1xn.xn2xn2xn2综上，2xnxn13.4x3x35(xn1)（2）解：由（1）知，xn1n，则xn13n①，xn11②，xn2xn2xn2①②，得x311xn131xn3，故数列n是首项为，公比为的等比数列.53xn115xn1x1nn195n11xn311*因此，(nN).，解得：xnn1351xn135【例2】已知函数f(x)ln(2x)ax在开区间(0，1)内是增函数．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)若数列an满a1(0,1),an1ln(2an)an(nN*)，证明：0anan11．(Ⅰ)解：f(x)1a，由于f(x)在(0，1)内是增函数，2x1a0在x∈∴f(x)0，即(0，1)时恒成立．2x1∴a恒成立，x2而－2＜x－2＜－1，11，x22111，即2x2∴a1即为所求．∴1(Ⅱ)证明：①当n=1时，由题设知a1∈(0，1)．②假设当n=k时，不等式成立，即ak∈(0，1)，则当n=k+1时，由(Ⅰ)知，f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函数∴0f(0)ln(20)0ak1ln(2ak)akf(ak)f(1)ln(21)11，即ak+1∈(0，1)，故n=k+1时命题成立.根据①②知0＜an＜1，n∈N*．又∵an1anln(2an)ln(21)0，∴0anan11．【例3】已知函数f(x)xsinx,数列{an}满足：0a11,an1f(an),n1,2,3,证明：，13an.6证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明0an1,n1,2,3,(Ⅰ)0an1an1；(Ⅱ)an1①当n=1时，由已知，结论成立.②假设当n=k时结论成立，即0ak1，因为0x1时，f(x)1cosx0，所以f(x)在(0，1)上是增函数，又f(x)在[0，1]上连续，从而f(0)f(ak)f(1)，即0ak11sin11，故当n=k+1时，结论成立.由①②可知，0an1对一切正整数都成立.又因为0an1时，an1anansinanansinan0，所以an1an，综上所述0an1an1.(Ⅱ)设函数g(x)sinxx13x,0x1，6由(Ⅰ)可知，当0x1时，sinxx.x2x2x2x22x2sin2()0,从而g(x)cosx122222所以g(x)在（0，1）上是增函数.又g(0)0，所以当0x1时，g(x)>0成立.13于是g(an)0，即sinananan0，613故an1an．【例4】已知函数f(x)xln1x,数列an满足0a11,an1fan;数列bn满足b111,bn1(n1)bn,nN*.求证:22（Ⅰ）0an1an1;an2;（Ⅱ）an122,则当n≥2时,bnann!.(n!n(n1)（Ⅲ）若a12*解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明0an1,nN.（1）当n=1时,由已知得结论成立;21)（2）假设当n=k时,结论成立,即0ak1.则当n=k+1时,因为00,从而an1.因为0an1,所以gan0,即2211n1b(Ⅲ)因为b1,bn1(n1)bn,所以bn0,n1，222bnbbb21所以bnnn1b1nn!————①bn1b