积分不等式的证明及应用.docx

积分不等式的证明及应用

第一篇：积分不等式的证明及应用衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分不等式的证明及应用所在系：数学与计算科学系专业：数学与应用数学学号：08090233作者姓名：盛军宇指导教师：肖娟2012年4月27日积分不等式的证明及应用数学与计算科学系数学与应用数学专业学号:08090233姓名:盛军宇指导老师:肖娟摘要本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词积分不等式；中值定理；函数0.引言积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有:定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1.积分不等式的证明方法1.1利用积分第一中值定理证明积分不等式积分第一中值定理(定理1)若fx在a,b上连续,则至少存在一点a,b，使得fxdxfba.ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用.例1设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M,求证:对任意正整数n有10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数.分析由于目标式中一个式子为i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证由定积分的性质及积分中值定理,有10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n.,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得,niiffifii,i1,2,,n.nni因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMni1n.i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法.1.2利用拉格朗日中值定理证明积分不等式拉格朗日中值定理(定理2)若函数f满足如下条件:if在a,b上连续；iif在a,b内可导,则在a,b内至少存在一点,使得ffbfaba.利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则fxdxabba24M,MMaxfx.xa,b分析由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理.证由拉格朗日中值定理得:对任意的xa,ab,2fxfxfaf1xa,a1x.,b,对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.ababfxMxa,xa，fxMbx,x,b22，故fxdxabab2afxdxbab2fxdxab2afxdxbab2fxdxab2aMxadxbab2Mbxdxba24M.注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3构造变上限函数证明积分不等式作辅助函数,将结论的积分上