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等差数列知识点解读（最终定稿）

第一篇：等差数列知识点解读等差数列一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。*1.设数列an的前n项和为Sn．已知a15，an1Sn3n，nN．设bnSn3n，求数列bn的通项公式；解：依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)．因此，所求通项公式为bnSn-3n2n。2．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为3．已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则a1a3a913．a2a4a1016【考点梳理】1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。2.补充的一条性质s奇n1）项数为奇数2n1的等差数列有：ssana中，s2n1(2n1)ans偶n1奇偶sa2）项数为偶数2n的等差数列有：奇n，s偶s奇nds2nn(anan1)s偶an1an1and（定义）2an1anan23.等差数列的判定：{an}为等差数列anAnB（关于n的“一次函数”）SAn2Bn（缺常数项的“二次函数”）n即：｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)anknbsnAn2Bn；4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=d·n+a1-d,an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=ana1aam，d=n，由此联想点列（n，an）所在直线的nmn1斜率.2）点(n,Sn)在没有常数项的二次函数Snpn2qn上。其中，公差不为0.6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）1）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0；a0n1q的非零自然数时Sn最大；2p2）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小an0；an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近q的非零自然数时Sn最小。2p题型1等差数列的基本运算例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．82a1aa14d103解：(1)方法一：151∴a60＝a1＋59d＝130．aa44d908451d3aaaa88方法2dnm4515，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．nm4515332A212A12B84(2)不妨设Sn＝An＋Bn，∴2B1720A20B460∴Sn＝2n－17n∴S28＝2×28－17×28＝1092(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，6(a1a6)6(a110)aa6(a10)∴15＝1即a1＝－5而d＝613222618(aa)∴a8＝a6＋2d＝16S8＝1844又S6＝变式训练1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+Sn}nn（n－1）d.∵S7=7，S15=75，27a121d7,a13d1,∴即解得a1=－2，d=1.15a105d75,a7d5.11Sn11n5=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.n222SSS11∴n1－n=.∴数列{n}是等差数列，其首项为－2，公差为.n1n2n2129∴Tn=n－n.44∴小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.题型2等差数列的判定与证明*例2已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.求