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线性代数习题答案

第一篇：线性代数习题答案习题三（A类）1.设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)2.设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)=(1,2,3,4)3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）×4.判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5),α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3),α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.5.设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关.证明：设k11k2(12)k3(123)0，即(k1k2k3)1(k2k3)2k330.由1,2,3线性无关，有k1k2k30,k2k30,k0.3所以k1k2k30,即1,12,123线性无关.6.问a为何值时，向量组1(1,2,3),2(3,1,2),3(2,3,a)'''线性相关，并将3用1,2线性表示.1312237(5a),当a=5时，3a117解：A231172.7.作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵.解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关,所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，110）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为110100100000.018.设1,2,,s的秩为r且其中每个向量都可经1,2,,r线性表出.证明：1,2,,r为1,2,,s的一个极大线性无关组.【证明】若1,2,,r(1)线性相关，且不妨设1,2,,t(t(2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是1,2,,s的一个极大无关组，这与1,2,,s的秩为r矛盾，故1,2,,r必线性无关且为1,2,,s的一个极大无关组.9.求向量组1=(1,1,1,k),2=(1,1,k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把1,2,3按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.11A1k11k111200110110100k101k1k01110100k1001k011k1001010当k=1时，1,2,3的秩为2,1,3为其一极大无关组.当k≠1时，1,2,3线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.10.确定向量3(2,a,b),使向量组1(1,1,0),2(1,1,1),3与向量组1=(0,1,1),2=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同，且3可由1,2,3线性表出.【解】由于0A(1,2,3)111B(1,2,3)1012111111001021a0b011021001;02,ba2而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a2=0,即a=2,又0c(1,2,3,3)1112110121a0b0210010,2ba2a要使3可由1,2,3线性表出，需ba+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即3=(2,2,0).11.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2