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线性代数较难试题

第一篇：线性代数较难试题一、设A相似于对角阵，0是A的特征值，X0是A对应于0的特征向量.证明：(1)秩(A0I)秩(A0I)2；(2)不存在Y，使得(A0I)YX0.证：(1)设A则A0I故=diag{0,k,0,k1，n},i0,ik1，n.0I,(A0I)2(0I)2.rank(A0I)rank(0I)rank(diag{0,k,0,k10，n0}nk.同理，rank(A0I)2rank(0I)2rank(diag{0,k,0,(k10)2，(n0)2}nkrank(A0I).（2）如存在Y，使得(A0I)YX0，则2(A0I)，Y(A0I)0X由（1）知方程组(A0I)2X与(A0I)X同解。从而(A0I)Y，即X0，与X0为特征向量矛盾。二、已知线性方程组AnnXb对任何b的取值都有解的充要条件是Ann为可逆阵。证明：充分性:设A可逆，则对任意b，XA1b.必要性:解法一:当b取遍所有基本向量组中的向量后,原方程组都有解,以这些解向量作为列向量构做矩阵B,显然AB=I,其中I为单位阵,故而A可逆.解法二:由题目假设知任何n维向量b都能由A的列向量组线性表出,所以向量空间Rn的维数不会超过A的列向量组的秩,由此得出:A的列向量组的秩为n,即A可逆.三、设,为3元单位列向量，且T0，记ATT。证明：(1)齐次线性方程组AX0有非零解；100(2)A相似于矩阵010。000四、设n阶矩阵A满足A2A,r(A)r(0rn)。(1)试确定A的特征值的取值范围；(2)证明A一定可以相似对角化；(3)求行列式A2I的值。五、已知Rn中两个非零向量：a1,a2,,an,b1,b2,,bn，TT其中n2,b10，矩阵AT。(1)求A2；(2)求A的特征值和特征向量；(3)判断A是否可以相似对角化：若可以，请写出相似变换矩阵P和对角矩阵；若不可以，请说明理由。第二篇：线性代数试题线性代数试题(一)一、填空（每题2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。2.设D为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D=。3.关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是，结论是。4.n阶矩阵A可逆的充要条件是，设A*为A的伴随矩阵，则A-1=。5.若n阶矩阵满足A2-2A-4I=0,则A-1=。112212343312344=，46.=。7.设向量组1,2,3线性相关，则向量组1,1,2,2,3,3一定线性。A1A*A8.设A三阶矩阵，若=3，则=,=。9.n阶可逆矩阵A的列向量组为1,2,n，则r(1,2,n)=。10.非齐次线性方程组AmnX=b有解的充要条件是。二、单项选择题（10分，每题2分）k12k10的充要条件是（）1．2。（a）k1（b）k3（c）k1,且k3（d）k1,或k32.A,B,C为n阶方阵，则下列各式正确的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,则A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2d)AC=BC且C可逆,则A=B3.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A10A0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量组线性相关4.设矩阵A=(aij)mn，AX=0仅有零解的充要条件是（）(a)A的行向量组线性无关(b)A的行向量组线性相关(c)A的列向量组线性无关(d)A的列向量组线性相关5.向量组1,2,s的秩为r,则下述说法不正确的是（）(a)1,2,s中至少有一个r个向量的部分组线性无关(b)1,2,s中任何r个向量的线性无关部分组与1,2,s可互相线性表示(c)1,2,s中r个向量的部分组皆线性无关(d)1,2,s中r+1个向量的部分组皆线性相关三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分）1．5级排列41253是一个奇排列。（）2．A为任意的mn矩阵,则ATA,AAT都是对称矩阵。（）3．1,2,s线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。（）0004．行列式1001001001000=-1（）5．若两个向量组可互相线性表示，则它们的秩相等。（）四、计算n阶行列式（12分）xaaaxaaaxaaaaaaaaaax223110121(13