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线性代数习题册

第一篇：线性代数习题册线性代数习题册江苏师范大学科文学院第一章矩阵重点掌握：矩阵的运算；行列式的计算；元素的代数余子式和伴随矩阵的定义；可逆矩阵的性质和逆矩阵的求法；矩阵秩的求法等。一、逆矩阵对于记作，若有．为可逆矩阵；满足，则称为可逆矩阵，且为的逆矩阵，运算律：（1）对于可逆为可逆矩阵．可逆,且，有．．，取（2）可逆，可逆，且．对于（3）对于，取与，取都可逆，有可逆，且，有．．．（4）对于可逆，取可逆,且，有．．（5）（6）可逆与都可逆．．二、矩阵的初等变换初等变换行变换列变换①对调②数乘,记作③倍加经过初等变换得到初等矩阵：．（1）（2）（3）定理设（1）对（2）对是矩阵，则进行一次行初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵左乘；.进行一次列初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵右乘求逆矩阵的初等变换法：（都是初等矩阵）由此可得：对（矩阵的位置）成为施行“初等行变换”，当前列时，则后列（的位置）为．三、矩阵的秩1、子式：在中,选取行与列,位于交叉处的个数按照原来的的一个阶子式,记作个．．相对位置构成阶行列式,称为对于给定的,不同的2、矩阵的秩：在中，若；阶子式总共有(1)有某个阶子式(2)所有的称阶子式（如果有，或者阶子式的话）．．阶梯矩阵.的秩为，记作定理任意一个矩阵，均可以经过一系列行初等变换化为定理初等变换不改变矩阵的秩.定理阶矩阵可逆.典型习题练习＊1设是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的矩阵是（）A．B．C．D．2．设3阶阵A．0B．1C．2＊3如果A4设阶方阵D．3，则的秩为（）可逆，则下列结论正确的是（）；C；D的行向量线性相关。；B是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的矩阵是____________。＊5设为三阶方阵，且，则____________。＊6设为三阶方阵，的行列式____________。，则___________。＊7．已知三阶方阵8．设矩设矩阵，矩阵，则矩阵的秩=____________。9．设矩阵＊10设n阶可逆矩阵，矩阵满足，则矩阵，则的秩=____________。=____________。11．3阶矩阵，则的秩为____________。12矩阵，则行列式=____________。13＊14已知三阶方阵。的行列式，则。15已知矩阵，则=____________。＊16设矩阵，则的特征值为____________。17计算行列式＊18计算行列式＊19计算行列式。20计算行列式＊21设，求。＊22设，求。＊23设，求。＊24设，求。＊25设26已知＊27证明：如果矩阵阶矩阵满足，求,求证：可逆，并求的逆。是可逆对称矩阵，则也是对称矩阵。第二章线性方程组重点掌握：向量组间的线性关系：线性相关和线性无关；向量组极大无关组和秩的求法，线性方程组基础解系的求法等。一、线性方程组一、克拉姆（Cramer）法则定理（克拉姆法则）如果含有个方程的元线性方程组（1）的系数行列式则方程组（1）有唯一解，并且其中是将系数行列式的第列元元线性方程组换成常数项后得到的行列式.定理如果如果含有个方程的的系数行列式，则方程组（2）仅有零解.二、解线性方程组的消元法定理（1）（2）若,有解有解时，若；，则有唯一解；个自由未知量．，则有无穷多组解，此时，一般解中有定理(1)仅有零解；(2)由于对推论如果矩阵有非零解[即有无穷多个解]有，由此得到．元齐次线性方程组必有非零解.中，方程的个数少于未知量的个数，即，则方程组特别地，对于含有个方程的元齐次线性方程组由定理2.2和定理2.4可以得到定理齐次线性方程组有非零解．三、向量及其线性运算1．向量的线性组合设维向量，及（为正整数），若有数组，称为的线性组合，或称可由向量组线性表示．使得2．线性相关与线性无关对维向量组，若有数组则称向量组线性相关，否则称为线性无关．，仅当数组称向量组向量组线性无关，否则称为线性相关．线性相关元齐次线性方程组全为0时，才有不全为0，使得线性无关：对维向量组（1）有非零解.向量组特别地，当向量组线性无关元齐次线性方程组（1）仅有零解.时，由定理2.5可推出：线性相关方程组（1）的系数行列式向量组线性无关方程组（1）的系数行列式四、向量组的秩极大线性无关组：设向量组为（1）在（2）在都可以表为则称的秩，记作：秩中有个向量中有，若线性无关；个向量的话）．[即中每一个向量个向量线性相关（如果有的线性组合]为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组，称为向量组．[即极大无关组所含的向量个数]向量组的秩与矩阵的秩的关系设(1)(2)当（1）（2）时，有线性相关线性无关线性相关线性无关；．；．五、线性方程组解的结构1、齐次线性方程组不妨设的基础解系的一般解为()依次令可求得因为（1）（2）所以，„，线性无关，是解空间的一个基，称为齐次方程组解的