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线性代数复习提纲1

第一篇：线性代数复习提纲1线性代数复习重点第一章．行列式1.排列的逆序数2.对角线法则3.具体数字行列式的计算（行列式的性质、展开定理）4.余子式、代数余子式的线性组合的计算5.特殊行列式（对角、三角、对称、反对称、范德蒙）6.Cramer法则第二章．矩阵1.矩阵的基本运算（转置、加法、数乘、乘法、方阵的幂、方阵的行列式、方阵的伴随、方阵的逆）及其运算性质2.矩阵方程3.具体数字矩阵求逆的三种方法（公式法、初等变换法、分块矩阵）4.抽象矩阵证明可逆并求逆5.初等矩阵与初等变换的关系6.化行阶梯形、行最简形7.求矩阵的秩（不带参数和带参数）8.秩的性质（特别是乘积的秩、伴随的秩）第三章．向量组1．线性组合的概念和判断（带参数，不带参数）2．线性相关、无关的概念的判断（带参数，不带参数，注意有多种判断方法）3．线性相关、无关与线性组合的关系4．向量组与向量组之间的线性关系5．求向量组的秩和一个极大无关组第四章．线性方程组1．线性方程组解的判断2．解的性质（齐次，非齐次）3．齐次方程组的基础解系及通解4．非齐次方程组的通解第五章．相似矩阵1．向量的内积和正交性2．正交矩阵的概念和性质3．求特征值、特征向量4．特征值、特征向量的性质5．已知特征值求行列式6．相似对角化的判断7．实对称矩阵的特征的特殊性第六章．二次型1．二次型的矩阵2．二次型化标准形（配方法、对称变换法（合同变换法））3．正定二次型和正定矩阵的判断（多种方法）第二篇：线性代数考试复习提纲、知识点、例题线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘n,积之和，即Dai1Ai1ai2Ai2...ainAini1,2,...n,Da1iA1Ai2...aniAnii1,2,...iai222404135例1、计算行列式31232051二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：AXBXABAXBC111若系数矩阵可逆，则XA1BXBAXACB切记不能写成XA1B1C或X求逆矩阵的方法：CAB1、待定系数法ABE(或BAE)2、伴随矩阵法A11AA其中A叫做A的伴随矩阵，它是A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。A11AA12...A1nA21...A22...A2nAn1...An2.........Ann初等行变换EA13、初等变换法AE例2、解矩阵方程31561416X527891001011111B20例3、解矩阵方程XAXB，其中A10153三、解齐次或非齐次线性方程组设Aaijmn，n元齐次线性方程组AX0有非零解r(A)nn元齐次线性方程组AX0只有零解r(A)n。当mn时，n元齐次线性方程组AX0只有零解A0。当mn时，n元齐次线性方程组AX0有非零解A0。当mn时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组AX0的解1,...,t满足：（1）1,...,t线性无关，AX0的每一个解都可以由1,...,t线性表示。（2）则1,...,t叫做AX0的基础解系。定理1、设Amn，齐次线性方程组AX0，若r(A)rn，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于nr。齐次线性方程组的通解xk11...knrnrk1,...kn,rR设Aaijmn，n元非齐次线性方程组AXB有解r(A)r(A)。唯一解r(A)r(A)n。无数解r(A)r(A)n。无解r(A)r(A)。非齐次线性方程组的通解xk11...knrnr，k1,...kn,rRx1x22x3x40例4、求齐次线性方程组2x1x2x3x40的通解2x2xx2x01234x1x23x3x41例5、求非齐次线性方程组3x1x23x34x44的通解。x5x9x8x02341四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论xyz0例6、当为何值时，齐次线性方程组xyz0有非零解，并求解。2xyz02x1x2x3