线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第三单元.docx

线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第三单元

第一篇：线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第三单元习题3.11.写出下列平面的方程:(1)过点M(1,1,1)且平行于平面:-2xy-z10;(2)过点M1(1,2,0)和M2(2,1,1)且垂直于平面:yx10;(3)过z轴且与平面2xy-5z0的夹角为3.解:(1)所求平面与平行,故其法向量n2,1,1,由点法式方程,所求平面方程:2(x1)(y1)(z1)0,即:2xyz20(2)法一:设所求平面的法向量为n,则由已知条件n垂直于平面的法向量n0{1,1,0}ijk与M1M2{1,1,1},n110ij111由点法式方程,所求平面方程为(x1)(y2)0,即xy30法二:设所求平面方程为Ax+By+Cx+D=0将M1,M2的坐标代入,且由向量{A,B,C}与平面A2BD0的法向量n0{1,1,0}垂直得方程组2ABCD0AB0解得AB-1313D,C0,所求平面方程为DyD0,即xy30.Dx13(3)因平面过z轴,故可设其方程为AxBy0,因其与已知平面的夹角为3,其法向量n{A,B,0}与已知平面的法向量n0{2,1,5}的夹角为,3nn02AB1cos,2232||n||||n0||10AB6A16AB6B220,即A13B或3B平面x3y0或3x-y0为所求.2.下列图形有何特点?画出其图形.(1)2z30;(2)y0;(3)3x4yz0.解:(1)平面平行于xOy面,图形如下图.(2)与xOz面重合,图形如下图.(3)平面过原点,其图形如下图.3.由原点向平面作垂线,垂足为(x0,y0,z0),求此平面的方程.解:连结(x0,y0,z0)点与原点的向量{x0,y0,z0},可作为平面的法向量,由平面的点法式方程得:x0(xx0)y0(yy0)z0(zz0)0,即x0xy0yz0zx0y0z0为所求平面方程.4.平面过点A(2,3,0),B(1,1,2)且与向量a(4,5,1)平行,求此平面的方程.解法一:平面的法向量n与AB{3,4,2}与a垂直,ijknaAB45114i5j31k,由点法式方程得34222214(x2)5(y3)31z0即14x5y31z430.解法二:设平面的一般式方程为AxByCzD0,将A,B坐标代入,-2A3BD0并由其法向量{A,B,C}与a垂直可得方程组AB2CD0,4A5BC014AD435解得BD.4331CD43由此得平面方程:14x5y31z430.5.求以平面xaybzc1与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积.解法一:设原点为O,平面与坐标轴的三个交点为A,B,C,则四面体OABC的体积V16|abc|,平面ABC上的高为O到平面的距离d11a21b21c2，ABC的面积S3Vd12bcacab.222222解法二:设所求平面与三个坐标轴的交点为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则AB{a,b,0},AC{a,0,c},则ABC的面积ijk111S||ABAC||ab0||bciacjabk||222a0c12bcacab2222226.平面过点M(2,0,8)且与二平面x2y4z70,3x5y2z30都垂直,求的方程.解法一:所求平面的法向量n与两已知平面的法向量n1,n2都垂直,ijknn1n212416i14j11k,352由点法式方程得所求平面方程为16(x-2)-14y-11(z8)0,即16x-14y-11z-1200.解法二:设所求平面的一般式方程为AxByCzD0,将点M的坐标代入,由其法向量与两已知平面的法向量n1,n2垂直可得方程组16AD12014解得BD12011CD1202A8CD0A2B4C03A5B2C0所求平面方程为16x14y11z12007.求由平面1:x3y2z50与2:3x2yz30所成二面角的平分面方