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线性代数考试复习提纲、知识点、例题

第一篇：线性代数考试复习提纲、知识点、例题线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘n,积之和，即Dai1Ai1ai2Ai2...ainAini1,2,...n,Da1iA1Ai2...aniAnii1,2,...iai222404135例1、计算行列式31232051二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：AXBXABAXBC111若系数矩阵可逆，则XA1BXBAXACB切记不能写成XA1B1C或X求逆矩阵的方法：CAB1、待定系数法ABE(或BAE)2、伴随矩阵法A11AA其中A叫做A的伴随矩阵，它是A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。A11AA12...A1nA21...A22...A2nAn1...An2.........Ann初等行变换EA13、初等变换法AE例2、解矩阵方程31561416X527891001011111B20例3、解矩阵方程XAXB，其中A10153三、解齐次或非齐次线性方程组设Aaijmn，n元齐次线性方程组AX0有非零解r(A)nn元齐次线性方程组AX0只有零解r(A)n。当mn时，n元齐次线性方程组AX0只有零解A0。当mn时，n元齐次线性方程组AX0有非零解A0。当mn时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组AX0的解1,...,t满足：（1）1,...,t线性无关，AX0的每一个解都可以由1,...,t线性表示。（2）则1,...,t叫做AX0的基础解系。定理1、设Amn，齐次线性方程组AX0，若r(A)rn，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于nr。齐次线性方程组的通解xk11...knrnrk1,...kn,rR设Aaijmn，n元非齐次线性方程组AXB有解r(A)r(A)。唯一解r(A)r(A)n。无数解r(A)r(A)n。无解r(A)r(A)。非齐次线性方程组的通解xk11...knrnr，k1,...kn,rRx1x22x3x40例4、求齐次线性方程组2x1x2x3x40的通解2x2xx2x01234x1x23x3x41例5、求非齐次线性方程组3x1x23x34x44的通解。x5x9x8x02341四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论xyz0例6、当为何值时，齐次线性方程组xyz0有非零解，并求解。2xyz02x1x2x32例7、已知线性方程组x12x2x3，问当为何值时，它有唯一xx2x2312解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。五、向量组的线性相关性1,2,...,s线性相关1,2,...,s(s2)中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。存在不全为0的数k1,k2,...,ks使得k11k22..kss0。k11列行k21,2,...,s0有非零解k1,k2,...,ks20有非零解......kssk1k///20有非零解1,2,...,s...ksr1,2,...,ssr1/,2/,...,s/s1,2,...,s线性无关1,2,...,s(s2)中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。若k11k22..kss0，则k1k2...ks0。k11列行k21,2,...,s0只有零解k1,k2,...,ks20只有零解......kssk1k///2,,...,0r1,2,...,ss12s...ks///r1,2,...,ss