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线性代数证明题

第一篇：线性代数证明题4.设A、B都是n阶对称矩阵，并且B是可逆矩阵，证明：AB1B1A是对称矩阵.A、B为对称矩阵，所以ATA,BTBTTT11111证明：因为(AB1B1A)T(AB1)T(B1A)T(B)AA(B)BAABABBA则矩阵5.设T1AB1B1A是对称矩阵。n1n阶矩阵的伴随矩阵为*，证明：**0时，*0.*0，则知*可逆，*1.证明：因为⑴当用反证法：假设在等式**O左右两边同时右乘，得到O，于是O，这与假设矛盾，n1可知当0时,有*0；⑵当0时，在等式*两边同时取行列式，得**n两边同时约去，得*n1.6.设向量b能由1,2,3这三个向量线性表示且表达式唯一,证明：向量组1,2,3线性无关。证明：（反证法）如果a1,a2,a3线性相关，则有一组不全为0的系数1,2,3使1a1由已知设b（1），2a23a3=0112233，结合（1）式得b0b(11)a1(22)a2(33)a3（2）由于1,2,3不完全为零，则17.设1,2,3是1，22，33与1,2,3不同，这与b表示法惟一相矛盾，故向量组1,2,3线性无关。n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明：不是A的特征向量。证明：假设AAA123A1A2A3112233，又：123A112233从而：1122330，由于特征值各不相等，所以1,2,3线性无关，所以的1230123，矛盾。故不是A的特征向量。8.已知向量组a1,a2,a3线性无关，b12a1a2，b23a2a3，b3a14a3，证明向量组b1,b2,b3线性无关.证明把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式20130b1,b2,b3a1,a2,a31,记BAK，014设Bx0，以BAK代入得A(Kx)0，因为矩阵A的列向量组a1,a2,a3线性无关，知Kx0的系数行列式K250，知齐次线性方程组Kx0只有零解x0。0只有零解x0，故矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。所以，齐次线性方程组Bx9.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2=b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑k0η0+k1η1+k2η2=0，即（k0+k1+k2）η0+k1ξ1+k2ξ2=0.则k0+k1+k2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以k1ξ1+k2ξ2=0.又由Ax=0的一个基础解系,所以，ξ1，ξ2线性无关，所以k1=k2=0，从而k0=0.故η0，η1，η2线性无关。10.设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且f(A)(EA)(EA)1。f(A))(EA)2E；（2）f(f(A))A。证明（1）(E证明：（1）(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)(EA)(EA)2E（2）f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]1f(A)]1由（1）得：[E1(EA)，代入上式得2111f(f(A))[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)22211(EA)(EA)A2211.设A与B相似，证明：AT与BT相似。A与B相似，故存在可逆矩阵P，使得证明：因为B则BTP1AP(P1AP)TPTAT(P1)TPTAT(PT)1T且P是可逆矩阵于是12.证明：矩阵AT与BT相似。A与B是正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵.证明：由题设，对任意x0都有xTAx0,AB也正定矩阵.xTBx0xT(A+B)x0(x0)，由正定矩阵的定义，则13.一个n级行列式，假设它的元素满足aijaji,i,j1,2,,n,证明，当n为奇数时，此行列式为零。aa12a1n