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考研数学二真题2010年

第一篇：考研数学二真题2010年2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试卷一、填空题(本题共6小题，请将答案写在题中横线上．)(1)三阶常系数线性齐次微分方程(2)曲线的渐近线方程为______．的通解为y=______．(3)函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数______．(4)当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为______．(5)已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加的速率为______．(6)设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=______．二、选择题(本题共8小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)(7)函数的无穷间断点数为(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．(8)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程数λ，μ使该方程的解的两个特解．若常是对应的齐次方程的解，则(9)曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠O)相切，则a=(A)4e．(B)3e．(C)2e．(D)e．(10)设m，n是正整数，则反常积分(A)仅与m值有关．(B)仅与n值有关．(C)与m，n值都有关．(D)与m，n值都无关．(11)设函数z=z(x，y)由方程(A)x(B)z．(C)-x．(D)-z．的收敛性确定，其中F为可微函数，且(12)(C)(D)(14)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0，若A的秩为3，则A与相似于三、解答题(本题共9小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)求函数(16)(Ⅰ)比较小，说明理由；(Ⅱ)记，求极限的单调区间与极值．的大(17)设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且φ(1)=(18)一个高为j的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图2)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg/m3)(19)设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定a，b的值，使等式在变换(20)计算二重积分(21)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且。证明：存在f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2(22)设已知线性方程组Ax=b存在2个小同的解．(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解.(23)设例为一、填空题(1)(4)二、选择题正交矩阵使得为对角矩阵，若Q的第1参考解答(2)y=2x(3)-2n·(n-1)!(5)3cm/s(6)3(7)B(8)A(9)C(10)D(11)B(12)D(13)A(14)D三、解答题(15)分析：求变限积分f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．解令因为当x＞1时当-1＜x＜0时时所以f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞)；极小值为f(1)=f(-1)=0，极大值为评注：也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型．(16)分析：对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限。解：(Ⅰ)当0≤t≤1时，0≤ln(1+t)≤t，故|lnt|[ln(1+t)]≤|ln|．由积分性质得(Ⅱ)n于是有评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．由夹逼定理得(17)分析：先求求出ψ(t)可得关于ψ(t)的微分方程，进而解：由参数方程确定函数的求导公式可得评注：此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题，有一定难度．(18)分析：先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积．解：建立如图3所示的直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为油的质量M=ρV。其中油的体积V=S底·l．故评注：此题若不能记住公式算量稍显大．(19)分析：利用复合函数的链导法则变形原等式即可．解：由复合函数的链导法则得则运所以因而解得评注：此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考核.(20)分析：化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式，然后计算二重积分．解：如图4，直角坐标系下，D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，所以(21)分析：这是一个双介值的证明题，构造辅助函数，用两次拉格朗日中值定理。证明：两式相加得f'(ξ)+f'(η)=ξ+η评注：一般来说，对双介值问题，若两个介值有关联同时用两次中值定理，若两个介值无关联时用一次中值定理后，再用一次中值定理．(22)分析：本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解