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考研数学一线性代数公式

第一篇：考研数学一线性代数公式1、行列式1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)③、上、下三角行列式（④、◤◥◣2；）：主对角元素的乘积；n(n1)2和◢：副对角元素的乘积(1)ACOBAOCB；、CBAOOBAC(1)mn⑤、拉普拉斯展开式：ABAB⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；3.证明①、A0的方法：；③构造齐次方程组Ax0AA，证明其有非零解；④证明r(A)n⑤证明0是其特征值；2、矩阵1.是n阶可逆矩阵：A0（是非奇异矩阵）；Ar(A)nA（是满秩矩阵）有非零解；的行（列）向量组线性无关；0齐次方程组AxbRn，Axb总有唯一解；A与E等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；TAAAAA是正定矩阵；的行（列）向量组是Rn的一组基；是Rn中某两组基的过渡矩阵；AAAE*A2.对于n阶矩阵A：AA*3.(A1无条件恒成立；1)(A)TT**1(A1)T(A)**T(A)*T(A)1T*1(AB)BAT(AB)BA*(AB)B1A4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若A1AA2As1，则：Ⅰ、AA1A2As；Ⅱ、A1A111A2AsO111；A②、OA④、OOBCB1AOO1BA1O；（主对角分块）③、BCB11AO1O1A1B；（副对角分块）O1B1AO1BA；（拉普拉斯）⑤、COBA11BCA；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：FErOOOmn；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且X②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当ArAE1；就变成A1变为时，BB，即：(A,B)(E,A1B)；rc③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且xA1b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1②、2n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号E(i,5.矩阵秩的基本性质：①、0r(Amn)min(m⑥、r(Aj)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：11111；,n)；②、r(A)r(A)T；③、若AB，则r(A)r(B)；④、若P、Q可逆，则；（※）r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))；（※）⑦、r(AB)min(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)B)r(A)r(B)n；（※）⑧、如果A是m矩阵，B是ns矩阵，且AB0n0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)r(B)解（转置运算后的结论）；；⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；1②、型如00a10cb1的矩阵：利用二项展开式；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：n①、伴随矩阵的秩：r(A*)10r(A)nr(A)n1r(A)n1*1*；②、伴随矩阵的特征值：A(AXX,AAAAXAX)；③、A*AA1、A*An18.关于A矩阵秩的描述：①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0