高中数学必修4平面向量复习5正弦定理余弦定理.docx

高中数学必修4平面向量复习5正弦定理余弦定理

第一篇：高中数学必修4平面向量复习5正弦定理余弦定理5．5正弦定理、余弦定理要点透视：1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝：2R2R2R（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2RsinA，2RsinB，2RsinC来解题．2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．3．要注意利用△ABC中A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式BCAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，进行三角变换的运22用．4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：（1）根据题意画出示意图．（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．（4）给出答案．活题精析：例1．(2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD的边长是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四边形ABCD的面积．要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．解：如图所示，连BD，四边形ABCD的面积11S=SABDSCDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，221∵A＋C=180°，∴sinA=sinC，于是S=(2×4＋4×6)·sinA=16sinA．2222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．213又cosA=－cosC,cosA=－,∵A∈(0,π),∴A=π,sinA=.2323∴S=16×=8.2例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。要点精析：（1）∵a，b，c成等差数列，∴b2=ac．又a2－c2=ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得b2c2a21cosA==．∴A=60°；22bcbsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，absinBb2sin6032∵b=ac，∠A=60°，∴==sn60=．cca211解法2.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB，∵b2=ac，22bsinB3∠A＝60°，∴bcsinA＝b2sinB，∴＝sinA＝.c2例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．13要点精析：∵S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°．22又∵c2＝a2+b2－2abcosC，当∠C=60°时，c2＝a2＋b2－ab，c当∠C=120°时，c2=a2＋b2＋ab，c，∴c.练习题一、选择题tanAa21．在△ABC中，若，则△ABC是（）tanBb2A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形ABab2．在△ABC中，tan，则三角形中（）2abA．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b2cD．a=b或c2=a2+b23．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）33A．20(1+)mB．20(1+)m32C．20(1+)mD．30m4．设α，β是钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）1A．tanαtanβ1D．tan(α+β)5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）C．a=b=A．1C．056．△ABC的三边分别为2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），则最大内角的度数为（）A．150°B．120°C．90°D．135°二、填空题：abc7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，则sinAsinBsinC1138．△ABC的三边满足：，则∠B＝a