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高中数学竞赛辅导(证明线段或角相等)

第一篇：高中数学竞赛辅导(证明线段或角相等)高中数学竞赛辅导（证明线段和角相等）基础知识（1）证明两线段相等的常用方法：①利用全等三角形；②利用角平分线和线段中垂线性质；③利用等腰三角形、平行四边形（如矩形、正方形）、等腰梯形等特殊图形的性质；④利用圆的基本性质；⑤利用反证法；⑥利用面积法；⑦利用线段线段的积性等式；⑧利用同一法；⑨利用三角度量公式进行代数（三角法）。范例解读1．P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，由P作BC、AC的垂线，垂足为L、M，设D为AB的中点，求证：DM=DL。2．O、H分别是锐角△ABC的外心、垂心，点D在AB上，AD=AH，点E在AC上，AE=AO，求证：DE=AE。ACB3．ABCD为内接四边形，E、F分别在AB、CD上变动，满足AE：EB=CF：FD，P在线段EF上，使得PE：PF=AB：CD，求证：P到AD、BC的距离相等。DF4．圆PN，设l是圆P1和圆P2相交于点M、1和圆P2的两条公切线中距离M较近的那条公切线，l与圆P1相切于点A，与圆P2相切于点B，设经过点M且与l平行的直线与圆P1还相交于C，与圆P2相切于点D，直线CA和DB相交于点E，直线AN和CD相交于点P，直线BN和CD相交于点Q，证明：EP=EQ。D5．平面上任给圆O和直线l，过O作直线l的垂线交圆O于PQ，任P、Q中的一点，不妨取点P，过P作直线AB分别交圆O和直线l于A、B，过P作直线CD交圆O和直线l于C、D，连接AD圆O于E，连接BC交圆O于F，证明：PE=PF。PiCM6．梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，设点K位于两个圆之外，证明；由K向这两圆所作的切线相等。AD7．在直角三角形ABC的直角边上向外做正方形ACDE、BCFG，AG、BE分别交BC、AC于P、Q，证明：CP=CQ。GAB8．在凸四边形ABCD的边AB、BC上取点E、F，使得线段DE、DF分对角线AC为三等份，1已知△ADE和△CDF的面积分别是四边形ABCD的面积的，证明：AB=CD。CFA9．设四边形ABCD内接于⊙O，其对边AB、CD的延长线交⊙O外一点E，自点E引一直线平行于AC，交BD的延长线于点M，自点M引MT切⊙O于点T，求证：MT=ME。10．O、I分别为△ABC的外心和内心，AD上BC边上的高，I在线段OD上，求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。11．设CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，O、O1,O2分别为△ABC、△ACD、△BCD的内12的外接圆半径与△ABC的内切圆半径相等。心，求证：△OOO12．在△ABC中，BC边最短，∠A的内角平分线交BC于点D，∠B和∠C的内角平分线交射线AC、AB于点E、F，过点D做BC的垂线，过点F做AB的垂线，过点E做AC的垂线，这三条垂线交于点Q，求证：AB=AC。第二篇：证明线段相等的技巧证明线段相等的技巧要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。例1已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。二、如果要证明的两条线段在同一三角形中一般的思路是利用等角对等边。例2已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。例3已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。例4已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。证明线段和角相等的技巧⒈怎样证明两线段相等证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：⑴